Excerpt
38 1. Brauno judesys š i r I V 1.2.8 pav. B?““ trajektorija. 1.2.9 pav. B?!? trajektorija. 6 6-4 2 - 54 54 ž 44 42 5 £ 3- - 2 3- Ė š š i kų E = „a Ža z 25 a 0 L Ė 2 din AA SA 2 34 i E E i Ž i —5 Ą —5 9 6 OB 6 4 74 A E Elė 1.3 pav. B" ir n" trajektorijos, …
Excerpt
1. Brauno judesys 39 Taigi realią prasmę turi ne baltasis triukšmas, o tik jam artimi procesai. Frazę „procesas 1, yra artimas baltajam triukšmui“ reikia suprasti kad procesas B, = | 1; ds yra artimas Brauno judesiui. Norint sukurti kokio nors realaus …
Excerpt
40 2. Stochastiniai modeliai su Brauno judesiu ir baltuoju triukšmu A theory has only the alternative of being right or wrong. A model has a third possibility: it may be right, but irrelevant. Teorija turi tik vieną alternatyvą — būti teisinga arba …
Excerpt
2. Stochastiniai modeliai su Brauno judesiu ir baltuoju triukšmu 41 poveikį, turėtume įvesti pataisą — tą poveikį atspindinčią didėjančią teigiamą funkciją A (kuo didesnė populiacija, tuo aktyvesni plėšrūnai! ), ir tada lygtis galėtų atrodyti taip: X ys …
Excerpt
42 2. Stochastiniai modeliai su Brauno judesiu ir baltuoju triukšmu kurios sprendinys, kai 0 < x < M, yra Mx NC ZTS ES 2-0! Nors istoriškai iš pradžių Ferhiulsto lygtis buvo išvesta populiacijos augimui aprašyti, vėliau paaiškėjo, kad ji aptinkama ir …
Excerpt
2. Stochastiniai modeliai su Brauno judesiu ir baltuoju triukšmu 43 Šios lygties jau negalima pakeisti diferencialine lygtimi, nes, kaip minėta (1.4 teo- rema), Brauno judesio trajektorijos yra nediferencijuojamos. Tačiau ši lygtis turi prasmę kaip …
Excerpt
44 2. Stochastiniai modeliai su Brauno judesiu ir baltuoju triukšmu 2.2. Tolydusis laikas. Tas pačias lygtis galima gauti ir nagrinėjant kai kuriuos tolydaus laiko modelius. Pradėkime nuo diferencialinės lygties AX. — DO XX. kuri ekvivalenti integralinei …
Excerpt
2. Stochastiniai modeliai su Brauno judesiu ir baltuoju triukšmu 45 arba X: = bj (Xi st) +> 0(X, tr, O Perėję prie integralinio užrašo, gauname lygtį I I Nu V + [balsas + [alkusjas, 0 0 Panagrinėsime kelis pavyzdžius. Augimo lygtis. Anksčiau minėta lygtis …
Excerpt
46 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu Nature laughs at the difficulties of integration. Gamta juokiasi iš integravimo sunkumų. Pierre-Simon de Laplace Ankstesniame skyriuje aptarėme, kodėl, norint suteikti prasmę stochastinėms di- …
Excerpt
0.4. 10. Pavyzdžiai 147 ekstremumo taškais. Pastaruosiuose iol EEB "A 1 Fx)=oža(x)e' (x) = 0: Ši paprasta lygtis labai svarbi triukšmo indukuotų virsmų — stacionariojo tankio ekst- remumų kokybinių pokyčių — tyrimui. Stratonovičiaus lygties atveju, …
Excerpt
148 10. Pavyzdžiai 2 N Nu“ už Polx) = => 6 |2 | —72— du] 1 x = a50|2 | (Z7- => )au] 1 o 5 (Žma - 6 — 1)| = N exp(2/02)x2H/0*-2 eXp E 0 — Nx2Mo“-2 exp |-Ž | o čia paskutiniame žingsnyje pastovų (nepriklausantį nuo x) daugiklį N exp(2/02) vėl pažymėjome N. …
Excerpt
10. Pavyzdžiai 149 /2.), taip pat turime triukšmo indukuotą virsmą. Šiek tiek mažiau juntamą kokybišką skirtumą (kurį taip pat galėtume pavadinti virsmu) stacionariojo tankio pg elgsenoje taško x = O aplinkoje galime įžiūrėti tarp atvejų Žž) o 1 no Ža. …
Excerpt
150 10. Pavyzdžiai 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-11 12 13 14 I X, 2 1 x | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 I Į 21 ži …
Excerpt
10. Pavyzdžiai 151 taikymų ir kitose srityse. Pavyzdžiui, ji aprašo tam tikras chemines reakcijas, kuriose dalyvauja dvi medžiagos, ir X, reiškia vienos iš jų santykinį kiekį laiko momentu 7.4 Laikydami, kad parametras A yra veikiamas triukšmo …
Excerpt
152 10. Pavyzdžiai Toliau paprastumo dėlei nagrinėsime atvejį + = 1/2. Stacionarusis proceso tankis turi pavidalą (žr. 9.20.1 pastabą) N Day Au) Po(X) = ————— ex | ——————- x(1 — x) g2 už(1 — u)2 1/2 du) 6 -- X) i 2 | ---—— 2 --— du) 1/2 5555] Nesunkiai …
Excerpt
10. Pavyzdžiai 153 kad, kai 07 = 4, mes turime triukšmo indukuotą virsmą. Grįždami prie cheminės re- akcijos interpretacijos, įsivaizduokime, kad viena reakcijoje dalyvaujanti medžiaga yra mėlyna, o kita geltona. Kai triukšmo nėra arba jis mažas, tai …
Excerpt
154 10. Pavyzdžiai E 0,5 10 20 30 40) 50 60 70 80 90 I Xr Ija A—00—2 0,5 4Hh- 4 i" | p M | J 10 20 30 40 50 60 70 80 90 I X 10 02— A PG NrU BAI ST T a E ž B 0,5 10 20 30 40) 50 60 70 80 90 I X, 1 A 0 — 20 10 20 30 40) 50 60 70 80 90 I 10.8 pav. Genetinio …
Excerpt
155 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Although this may seem a paradox, all exact science is dominated by the idea of approximation. Nors tai ir panašu į paradoksą, visi tikslieji mokslai yra apimti aproksimacijos idėjos. …
Excerpt
156 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Sakoma, kad (X") yra sprendinio X n-osios eilės silpnoji aproksimacija, jei su visais £ € [0, T) E/(X;)- Ef(X:) = O(k"). h— 0, pakankamai plačiai funkcijų /:IR — IR klasei (pavyzdžiui, C7“ …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 157 „Prisiminimai apie paprastųjų diferencialinių lygčių aproksimacijas. Nagrinėkime paprastąją diferencialinę lygtį I X = A) o 0 anbal X Jos. Kea, 016 [0 7). 0 Pažymėję A = T/N, t; = kh, turime …
Excerpt
158 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Ši aproksimacija dar vadinama pagerintąja Oilerio arba Hoino“* aproksimacija. Ji turi jau antros eilės tikslumą; sup |X/ — X,| = O(h2), h— 0. I Determinuotoms lygtims stiprios ir silpnos …
Excerpt
11.3. 11.4. 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 159 Oilerio aproksimacija. Oilerio aproksimacijos analogas (+) stochastinei diferenciali- nei lygčiai yra Oilerio (arba Oilerio-Marujamos“ ) aproksimacija, apibrėžiama lygybė- mis Xi …
Excerpt
160 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Tada iš paskutinės nelygybės turime Elo*(s, X") —o(s, X.)| < 2C(9*(s) +V(h) +), s < [0, T], K > 0. Todėl …
Excerpt
(ES 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 161 X, 0,6 4 0,4 4 0,2 4 0,0 X, 0.6 4 0,4 4 0,2 4 0,0 - X; 0,6 4 lo = (00)! 0,4 + 0,2 1 | 0,0 AND, 02 WML 1 04 0.6 0,8 - 11.1 pav. Oilerio aproksimacijos su įvairiais žingsniais. Pirma, …
Excerpt
162 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Sf = 0 ir(z£) virsta pradine Ito lygtimi 1 I r Ar + | otas + | etxjas. HE Ip Ik Ik Analogiškai kaip ir determinuotos lygties atveju, pritaikę (44) formulę funkcijoms f = bir f = o, gauname …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 163 TS Ka || Įsžeto dB, dB, dB; =: R11 + Ri9 + R153 + R14 + Ris. Ik Ik Ik Liekamąjį narį galime įvertinti: ER“ < C(:— 1)". Pavyzdžiui, Esu 2 BRŽ, = El || |setaoanas, i) Tr paip 2 - Jr |fstetsjan …
Excerpt
164 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 0,44 0,2 4 0.0 0.2 0,4 0.6 0.8 I 0,2 0,4 0.6 0.8 r 11.2 pav. Oilerio (brūkšninė laužtė) ir Milšteino (ištisinė laužtė) aproksimacijų palyginimas. (M) Pabandykime dar pagerinti aproksimacijos …
Excerpt
165 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas su įverčiais ER2. = O(h*), i = 2, 3, 5. Pažymėjus integralą Ik+1S Ik+1 AZp = | Jas. AS Jue. IE B,)ds, Ik Ik Ik kitus du integralus galima išreikšti per jį: Ik5715 Ik+1 Ik+1 du dB, = |t + I) …
Excerpt
166 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Galima būtų tikėtis, kad šios aproksimacijos eilė yra geresnė ir lygi Ž . Tačiau pasirodo, kad tam ją reikia papildyti vienu nariu, gautu patikslinus dar vieną liekamojo nario dėmenį: Iki 1 …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 167 Koreliuotų normaliai pasiskirsčiusių dydžių porą (AB;, AZ;) galima gauti iš nepri- klausomų atsitiktinių dydžių U;, V — N(0, 1) poros: o ca l 1 3/2 AB; = U VA, AZ = 5(Ui + —U2)h . Toliau …