Excerpt
74 4. Ito formulė Įrodymas. Lygindami su 4.2 teoremos įrodymu, nurodysime tik pagrindinius skirtumus. Kaip anksčiau, teoremos įrodymą galima suvesti į atvejį, kai funkcija F yra aprėžta ir tolydi kartu su savo pirmosios ir antrosios eilės dalinėmis …
Excerpt
4. Ito formulė 13 Lieka panagrinėti papildomai skleidinyje atsirandančias tris sumas: 1 al Ein BIJAT [zu B,)dt i 0 2 E (t, B;)At? — O, y E! (4, B) AB; At; > O. Pirmosios sumos konvergavimas aiškus. Antrąją sumą nesunku įvertinti: 1 2 VAL Av LA = [Ieie: …
Excerpt
76 5. Stochastinės diferencialinės lygtys Svarbus atradimas, geniali mintis patraukia daugybę žmonių: iš pradžių norima tik žinoti, paskui — suprasti, vėliau — įsigilinti ir galiausiai — rutulioti toliau. Johahn Wolfgang Goethe, Vilhelmo Meisterio …
Excerpt
5. Stochastinės diferencialinės lygtys 767 I 1 + 5 [iotoso [u ns ocB,| ds 0 1 S OS 2 eXp 7 = (6 9) IE cB,| ds 0 I + Jos eXp (7 — 02/2)s + cB,| dB, 0 1 1 = Xo + [is ds > Jex. dB 0) 0 0 Atskiru atveju, kai 4 = Oiro = 1, gauname, kad atsitiktinis procesas X, …
Excerpt
78 5. Stochastinės diferencialinės lygtys 5.4. su neneigiamomis konstantomis C ir £, tai p(t). < Ee. (e |0, T): Atskiru atveju, jei 0 < y(t) < C [59(s) ds, t € [0, T), rai p = 0. Įrodymas. Iš nelygybės (e fotjas ++) UC t e [0, TĮ, 0 C fp(s)ds +5 0 gauname …
Excerpt
5. Stochastinės diferencialinės lygtys 79 2 I 2 I < 28) [ote, s)— b(Y,, s)) a -+ 28 [lets s) —o(Y,, s)) LA 0 0 1 1 < 2rE [is s) = b(Y,,s))" ds + 2E [let s) — o(Y,,s))" ds 0 0 1 1 < D0LB, [ik Lek 01618, Jix MA alis 0 0 1 1 —20(1 4 WB [Ia — Y,.|Žds = M, [ix …
Excerpt
5. Stochastinės diferencialinės lygtys Apibrėžtai funkcijai p analogiška funkcija 6(r) := E|X, — Ž [2,7 Z O, jau yra aprėžta - kadangi pagal apibrėžimą |X, — Y,| < c, > O, tai p(r) < c2, r 2 O. Todėl jai Gronvolo lemą galime taikyti ramia sąžine ir gauti …
Excerpt
5. Stochastinės diferencialinės lygtys 81 Pasinaudoję tiesiško augimo sąlyga, turime I 1 E|x] — x?|' = B Jot s)ds + [eto Mun) 0 0 2) t 2 (L vas) val J als)ai 0. Lygybėje XI?! = AX? formaliai perėję prie ribos, kai 1 — oo, 2 U, kuri reiškia, kad X yra (+) …
Excerpt
82 5. Stochastinės diferencialinės lygtys mo turime nelygybę I 1 2 B Jet, s) —- b(X",s)) ds + [let s)—o(X!,s)) a 0 0 < M, [Elx. S aka 0 Todėl BX —Xo— [bac s)ds — Įetkunas | 0 0 2 = EX — XI + [eee s) — b(X,.s)) ds 0 I 2 s- dt s) —o(X,.s)) 0 0 sn — 0 1 1 ja …
Excerpt
83 6. Ito procesai Life is one long process of getting tired. Gyvenimas yra vienas ilgas varginantis procesas. Samuel Butler, Notebooks Girdžiu: vyksta sudėtingi procesai. Galvoju: tegu sau vyksta. Bet gali ir nevykt. Žiūrėkit, kaip jums geriau. Juozas …
Excerpt
84 6. Ito procesai Įrodymas. 1. Ši savybė tiesogiai išplaukia iš 3.8 teoremos 2' savybės, kuria remiantis, su bet kokiu aprėžtu atsitiktiniu dydžiu Z € Zf, E(Z(M, - M,)) = E(2 | Ha, S El | zai 18) ST 1 1 2. Kadangi ZM, < Jf,, tai, remiantis 6.1 apibrėžimu …
Excerpt
6. Ito procesai 85 Šį apibrėžimą pateisina keli toliau įrodomi teiginiai apie Rymano tipo integralines sumas. Sakykime, A" = (0 = 5 < K < > > < K = T), n e IN, - smulkėjanti intervalo [0, T] skaidinių seka (|A"| = max; |,, — | > 0, n — 00). Žymėjimams …
Excerpt
86 6. Ito procesai ir E [„4C*H? dr = 4C?||H||? < oo. Todėl, remiantis Lebego teorema (0.11 skirsnis), Ek (Y" — Y,)2H2 dr — O,n — oo. Tuo pačiu gauname T 2 E| Darau - Įrnas.) > 0, n- 00. : 0 (M) Bendru atveju, kai Y nėra aprėžtas viena (neatsitiktine) …
Excerpt
6. Ito procesai 87 - 2 Yy“ AM — o dM, + P(O5,) i 0 26 B d 16 —— =, ca: 5 5 n co : a Y, JAM; — | y aM, Ž 0 Vadinasi, atsiras toks ng, kad o | 0 i PI Dun - fio L 0 su visais 1 > ng. Kadangi £ > Oir6 > O pasirinkome laisvai, tai 2 Drau 2 [r dM, i 0 Tai ir …
Excerpt
6. Ito procesai E[Z(A(M?); - A(M);)] 6.3.3 0 88 — (M));] 6.3.2 pastaba). Lieka įsitikinti čia pasinaudojome tuo, kad E(Z(AM? - A(M);)) = E[ZA(M? su Z = Y;Y(AM2 — A(M)i) e Jė, i < j (žr. taip pat 6 kad Y', E(AM7 + A(M)?) — 0,n — oo. Pasinaudoję nelygybe 12 …
Excerpt
6.7. 6.8. 6. Ito procesai . 89 Suderinto atsitiktinio proceso Z,, t € |[0, T], stochastiniu integralu Ito proceso X (išreiškiamo (;) pavidalu) atžvilgiu vadinamas atsitiktinis procesas 1 1 1 LO = IZ (Ne — Įzuk as Įzen diBS1 < [07], 0 0 jei dešinėje …
Excerpt
90 6. Ito procesai 1 1 = |ez.k. AZ Kads [lezen + BZ,H,) dB, 0 0 I I 1 I £ + [za ds + [Zen i) vo( Jais ds + |zež 48) 0 0 0 0 Žo AZ a VAL Te [ŪKTĄ, 2 savybė. Patikrinama panašiai: 1 (aZ+ 8W)+X, = |ez. + BW) K; ds > [ez. + BW,)H, dB, 0 1 1 1 1 —a |z.k. ds + …
Excerpt
6.10. 6. Ito procesai 91 ZA Ei dX,, 1 € [0, T|. Atskiru atveju (Y = 1) dviem Ito procesams Z ir X rašysime dZ = dX,jei Z, — Zo = X, — Xo,t < [0, T. Taip pat apibrėžkime Ito procesų X ir Y diferencialų sumą ir „sandaugą“ lygybėmis dx d > d E AN DA — (AE …
Excerpt
92 6. Ito procesai 2) Turime > AX? = Y' KAM? +2Y YAA AM; + Y AA. Remiantis 6.5.2 teiginiu, 1 TŽ M 'rAM2- | raun = 1 Ka SA a. i 0 0 Todėl pakanka įrodyti, kad M KAA AM; 50 ir Y'FAAZ 50, ns o. Turime Diiaaiad, < max |AM;|- Y | |JAAI]. Dėl martingalo M …
Excerpt
6.12. 6. Ito procesai 93 Remdamiesi 6.10 teiginiu, Ito formulę galime įrodyti ir Ito procesams, panašiai kaip tai darėme Brauno judesiui (4.2 ir 4.2a teiginiai) Teorema (Ito formulė Ito procesui). Jei X, = Xy + ks ds + EE dB,, t € |0, T), yra Ito procesas …
Excerpt
94 6. Ito procesai Be to, kaip 4.2 ir 4.2a teiginių įrodymuose, . JE X;)At; > [Ev X,)dt, DE t, X;)AtŽ —> 0, i 0 2 Eli X; JAK AAS 0 M RX ti Xia) 50 A 6.13. Išvaia (Integravimo dalimis formulė). Jei X ir Y yra Ito procesai intervale (0, T|, tai 1 1 X.Y. = …
Excerpt
6.14. 6.15. 6. Ito procesai 95 Atėmę iš paskutinės lygybės dvi pirmąsias ir padaliję iš 2, gauname 1 1 I X,Y. = XoYo + Ji dY, Er Jr dX, st [au ds. 0 0 0 A Apibrėžus stochastinius integralus Ito procesų atžvilgiu, galima apibendrinti ir sto- chastinės …
Excerpt
96 21 7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys Pačioje pradžioje, kai pasaulis buvo dar visai jaunas, egzistavo daugybė minčių, bet nebuvo tokio dalyko kaip tiesa. Visas tiesas žmogus sukūrė pats ir kiekvieną jų išsivedė iš daugybės miglotų minčių. Taip …
Excerpt
162 Valsiečių tia padėt neatlikdami tiesioginės tarnybos, jie mokėjo činšą. Kartais iš jų reika- laudavo pastočių, šienavimo ir kai kurių kitų prievolių [195, p. 28-89]. Labiausiai privilegijuoti buvo kariniai tarnai — šarviniai ir kelio bajorai. …
Excerpt
172 Miestiečių teisinė padėtis teisės. Įdomių žinių apie tokių savivaldybių veiklą suteikia 1561 m. va- sario 20 d. didžiojo kunigaikščio raštas Mogiliovui [28, p. 110-114]. Vaitas kontroliavo miestiečių prievolių atlikimą, mokesčių rinkimą, miesto iž- do …
Excerpt
Nelietuviškų žemių miestai ir miestiečiai ikimagdeburginiu (večės valdymo) miestų istorijos laikotarpiu IB nelietuviškose žemėse XIV-XV a. jau egzistavo išsivysčiusi miesto sa- vivalda vietinės paprotinės teisės pagrindu. Tai paneigia G. von Belovo ir J. …
Excerpt
178 Miestiečių teisinė padėtis sų Veichbildo 42-44 str.) [61, p. 387]. Vakarų Europos miestų magistra- tai paprastai susidėjo iš 12 narių, tuo tarpu LDK miestuose jų skaičius, taip pat rinkimų tvarka labai įvairavo [92, p. 96]. Kai kuriuose miestuo- se …
Excerpt
Magdeburgo miesto teisės įvedimas. Miesto savivalda Magdeburgo teisės pagrindu 1861 liuoti. Pirmiausia jai buvo pavesta kontroliuoti miesto mokesčių rinkimą ir pinigų išlaidavimą [40, p. 452-456]. Magdeburgo teisė nenumatė suda- ryti tokių institucijų, …
Excerpt
194 Miestiečių teisinė padėtis se, nes gaudavo iš miestiečių įvairius prekybinius ir verslinius mokes- čius. 1588 m. Lietuvos Statutas įtvirtino feodalų teisę steigti miestus (I, 29) [4, p. 95, 96]. Didysis kunigaikštis reguliavo miestų steigimą, kad jie …
Excerpt
20 Mieliečių teisinė padėtis vo miestiečiams rinkti vaitą ir magistratą, patvirtindavo miestiečių as- mens laisvę ir žemės nuosavybės teisę. Ši pavėlavusi reforma nelietuviškiems miestams didelės praktinės reikšmės neturėjo, nes kai kurie miestai nuo 1772 …