Excerpt
144 10.3. 10. Pavyzdžiai X, 0 Dy B 2 Ė (5 04 0.6 0.8 ! 10.2 pav. Lygties dX, = f(X,)dr + 0 dB, sprendiniai, kai 0 = Oir o = 0,8. elgseną esant įvairiems c matome 10.4 paveiksle. Pastebime, kad didinant c persi- ritimai per potencialo kalniuką tampa …
Excerpt
10. Pavyzdžiai 145 1 | oEĖS 10.3 pav. Stacionariojo tankio priklausomybė nuo o. Po intervale (a, b). Įsitikinome, kad jis turi pavidalą Polx) = Ž- eXp | / 2 du), x € (a, b). Norėdami panagrinėti, kaip kinta stacionarusis tankis, proporcingai keičiant …
Excerpt
146 10. Pavyzdžiai lik I Ly EU bai 10.4 pav. Lygties dX, = f(X,)dr +0 dB,, Xo = O, sprendiniai su c = 0,8; 1; 1,2. Kaip jau minėjome, difuzinio proceso stacionariojo tankio ekstremumai ir jų padėtis yra svarbios proceso elgsenos charakteristikos. …
Excerpt
— 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 47 f, 70 Jh(t) dt. Taigi, jei f € Cla, b|. o g turi tolydžią išvestinę, tai Styltjeso integralas iš Dao ) egzistuoja ir jame diferencialą dg(7) galima pakeisti formalia jo išraiš- ka g'(r 2 Tačiau tai …
Excerpt
48 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu = BAŽSBAFEKA SDR A …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 49 3.4. Apibrėžimas. Suderintasis atsitiktinis procesas X = (X,, / € [0, T|) vadinamas dip- tiniu procesu, jei egzistuoja intervalo [0, T] skaidinys 0 = t) < h < > > > < /; = T, su kuriuo X, — X. kai E …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 4. E(f; X: dB; f; Y. dB) = E Jj Xi Yrdt. 5. B(/z'X.dB J < 30B(J, 22052 Įrodymas. 1. Visų pirma pastebėsime, kad nemažindami bendrumo laiptinius procesus X ir Y galime laikyti turinčiais tuos pačius …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 51 kaip šio proceso stochastinį integralą i ZX, 1. rj(1) dB, = Aki ZX, dB,. Taigi T T z [a dB, — lo aiBA ir lieka pritaikyti šiam integralui 2-ąją savybę. 3. Turime T 9 5 E |as) =B| YA,AB,) = B Ya, AB DX …
Excerpt
52 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu Iš u -———— (X, + Y,)2 eimi 0 į! dt = B [kuna 0 (M) 5. Paprastai ši nelygybė įrodoma pasitelkus martingalų teoriją. Tačiau įmanomas ir tiesioginis įrodymas, panašus į 3 savybės įrodymą. Pastarajame …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 58 Pasinaudoję lygybėmis EAB; = E(AB;)3 = 0, E(AB,)2 = Ar, E(AB;)1 = 3A12, gauname 7 4 Ei ip) = B E(X;X,XPAB;AB;)At +3 B EAT (+) 0 Il 1 Pertvarkykime pirmąją sumą papildydami ją iki sumos pagal visus i, …
Excerpt
54 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu Įstatę gautąją lygybę į (*), gauname Iš 4 7 aki "Iš 2 P [an “I a) [kto —aB| Jažar) 0 0 0 0 Iš DA < op ( Įavan) [ste 0 0 Pritaikykime šiam reiškiniui Koši nelygybę: i T 4 T iš 2 E …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 33 ir I 1 Re GL B | xš dr = ||X||? < +00. 0 0 Todėl, remdamiesi Lebego teorema apie mažoruotą konvergavimą (0.11 skyrelis), gau- name * |YN- x| = JB a 0 e 0 2 žingsnis. Dabar pažymėkime Y bet kurį iš …
Excerpt
56 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu Remiantis integruojamojo kvadrato funkcijų vidurkinio tolydumo savybe? T |c:- „EVE dt = 0) kai s Į O. 0 Dėl (Y, -; — Y,)2 aprėžtumo ( < 4N?) gauname, kad ir i (H- „— Y)Ždr — O, kai s Į 0. Todėl su bet …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 57 Tada |x-X"| < |X-Y"| + |Y" - Z|+||Z* - X*|| < — 0 n—- A, ir teiginys įrodytas. A c 2 2 oo sk 3.7. Apibrėžimas. Sakykime, X < H?|0, T) ir S;[0, T] > X" X. Atsitiktinio proceso X stochastiniu integralu …
Excerpt
58 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu S B(/5 X.dB Jė a6IE( [B X ad2 Be to, yra teisingos tokios nelygybės stochastinio integralo maksimumui (Dūbo“ nely- gybės): 6. Pisup, 3) < 5EL J, X, dBĮ", A> 0, p> 1; atskiru atveju Pilsupio 1) 65 di …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 59 2'. Ši savybė taip pat įrodoma perėjus prie ribos kvadratinio vidurkio prasme laip- tiniams procesams X" jau įrodytoje lygybėje (su kiekvienu aprėžtu atsitiktiniu dydžiu Z e J4) — > z | xpas = | …
Excerpt
60 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu o tai ir yra įrodomoji lygybė. 3. Įrodomąją lygybę gauname perėję prie ribos, kai 1 — oo, lygybėje Ti | ID 0 "T 2 r Iš tikraj 7 i X" dB > Y = 1 X, dB,, todėl pasinaudoję normų savybėmis gauname 2 1 2 …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 61 nors ši savybė teisinga ir su visais p > 1. Tegul p = 1. Tada su visais įvykiais A € Zfį = El Ja dB, i) 0 E(|M7|14) = E|M714| > |E(M714)| = I Iš El Įkran i) L El [aa 2 0 I = |E(M,14)]. Čia …
Excerpt
62 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu Procesas I(1),r € (0, T], yra tolydus", todėl pakanka patikrinti, ar 1 el E aa P| max I(ų) > 4| £ E 1 AO, (25) su bet kokiais 2 e INir0O = 71 < 1 < --- < „= T. Pažymėkime Ar = (t) = M jų kia UA LE ls …
Excerpt
32) 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 63 Pritaikę Koši nelygybę, gauname BIF? < JB (0) B) 7 Galiausiai padalijame abi nelygybės puses iš (EY?)!2: (Er:) O, tai 1 kai 2 : n n o n | dB, = L?- lim 2 X(PJ(B(" ) — B(L?)). 0 B Įrodymas. Iš …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu Dėl X tolydumo kvadratinio vidurkio prasme E|X" — X,|2 — 0,1 — oo, su visais t € [0, T|. Antra vertus, dėl EX? aprėžtumo (EX? < C) E|x? — X.|" < 2(E(X7)? + BX?) < 2( max EX; + max BX; 2) R KHx- < 46 160 …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 65 Stochastinį integralą galima šiek tiek apibendrinti ir apibrėžti tiems atsitiktiniams procesams X, su kuriais P| [xžai < 40) E (8) Tam mums prireiks stochastinio integralo lokalumo savybės. 3.11. …
Excerpt
66 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu ir todėl Bifag M dr < N. Vadinasi, visi stochastiniai integralai kai dB,, N e IN, yra apibrėžti. Pažymėkime įvykius Oy := Wo dt < N), N e NN. Pastebėkime, kad X) = XUW) — X įvykyje Ox su visais N > M. …
Excerpt
3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu 67 Dar apibrėšime du stochastinio integralo apibendrinimus — begaliniam ir atsitikti- niam laiko intervalams. 3.15. Apibrėžimas. H?(O, 00) žymėsime aibę visų suderintų atsitiktinių procesų X = (X,, t 2 …
Excerpt
68 3.16. (4 3 (4 3.18. 3.8b. 3. Stochastinis integralas Brauno judesio atžvilgiu Kad dešinėje esantis integralas egzistuotų, reikia, kad būtų suderintas (Brauno judesio atžvilgiu) ne tik atsitiktinis procesas X, bet ir atsitiktinis procesas 1ro,„1(7), / > …
Excerpt
69 4. Ito formulė If you see a formula in the Physical Review that extends over a guarter of a page, forget it. It's wrong. Nature isn't that complicated. Jei fizikos žurnale jūs matote formulę, netelpančią į ketvirtį puslapio — pamirškite ją. Ji …
Excerpt
70 4. Ito formulė Todėl įrodomoji formulė yra teisinga, kai Did) — 2 sup |F“(y)— F“(x)|, h> 0. 2 Ir-yl …
Excerpt
4. Ito formulė zh Pirmoji suma, kaip tolydžios funkcijos F"(B,),.t € |0, T|. Rymano integralinė suma, konverguoja į jos integralą kia F"(B,) dt (beveik tikrai, taigi ir pagal tikimybę). Patik- rinsime, kad antroji suma konverguoja į O kvadratinio vidurkio …
Excerpt
72. 4. Ito formulė (svarbiausia!) sutampa su F intervale [—n,n], ty. F(x) = F(x), kai x € [-n, nl. Tokioms funkcijoms Ito formulę jau įrodėme, todėl galime rašyti T Iš F.(Br) - 12 (Bo) = = Įrzte )dB, EA Į Ele) dr, n e IN. 0 0 m|| Kadangi F,(B;) = F(B,).1 …
Excerpt
4. Ito formulė 78 4.1 pav. Funkcijos F € C?(IR) aproksimavimas funkcijomis F, € CŽ(IR). 4.3. Pavyzdys. Pritaikykime Ito formulę funkcijai F(x) = x"*! (n e IN); Iš T BO 2) ) f5ras + 24 =(n + 1)r J [aps "di 0 0 Iš čia U Bilų n H [aras => —Ž [ala n e IN. LEO …