Excerpt
184 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Pabaigoje pateiksime skaičiavimų pavyzdį su kairėje esančia Rungės-Kuto aprok- simacija. Vėl imsime tą pačią lygtį dX, = 0,5X,; dt + 047 EILdIB KgYZ40,8; kurios Stratonovičiaus pavidalas yra …
Excerpt
185 12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai Ir vis dėlto, jei pasektume atskiro nario žingsnius vagonų koridoriuose, pastebėtume, kad tai ne chaotiškas Brauno judėjimas, o tikslingos ir malonios frikcijos. Mūsų uždavinys — garantuoti, kad šis …
Excerpt
186 12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai 1.7 skirsnio 2 pastabą, kiekvienos daugiamačio Brauno judesio B koordinatės B“ isto- riją gE2 patogu (ir galima) laikyti sutampančia su viso Brauno judesio B istorija J£?. (M) f, pažymėkime c-algebrą, …
Excerpt
12.4. 12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai 187 diferencialinių lygčių sistemą galime interpretuoti kaip vieną daugiamatę stochastinę diferencialinę lygtį. Jei funkcijos b visos koordinatės b; ir funkcijos 0 visi matriciniai elementai o; yra …
Excerpt
188 12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai Tokiu atveju sakoma, kad procesas X turi stochastinį diferencialą k dX, = K. dt + Y" Hi dBį i=i arba trumpiau, k dX = Kdr + HėdB: iai Atskiru atveju, kai visi H' = O, sakoma, kad Ito procesas X yra …
Excerpt
12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai 189 Jei koeficientai o;; € C7, tai ši lygtis ekvivalenti daugiamatei Ito lygčiai cb 12 b(X,,t)dt +0(X,,t) dB,, kurioje poslinkio koeficientas b= (b;,bo,..., b,„) yra išreiškiamas lygybe m REB Sao 2 „28 AS no …
Excerpt
190 12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai 12.6. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys. Bendrasis daugiamatės tiesinės stochas- tinės diferencialinės lygties pavidalas yra k dX; = (a; (1)X; + a> (r)) dr + Y" (bi (2)XI + baj(1)) dB], j=1 o …
Excerpt
12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai 191 su vektoriniu ir matriciniu koeficientais b = (b;,i = 1,...,m): IR" — IR" bei o = (oj, i. = UA ing JOS Aaeet a EAN: IR"“**. tenkinančiais Lipšico sąly- gą, sprendiniai X* su pradine sąlyga X; = x, x < …
Excerpt
192 12. Daugiamatės stochastinės analizės elementai 12.8. Stochastinių diferencialinių lygčių sprendinių aproksimacijos. 71-matės stochasti- nės diferencialinės lygties (su k-mačiu valdančiuoju Brauno judesiu B) I 1 26 =1+ flas ajas + fots, X,)dB;,, te …
Excerpt
193 Rodyklė So essential did I consider an Index to be to every book, that I proposed to bring a Bill into Parliament to deprive an author who publishes a book without an Index of the privilege of copyright; and, moreover, to subject him, for his offence, …
Excerpt
194 Formulė Dynkino — 126, 128 Feinmano-Kaco — 130, 191 integravimo dalimis — 94 Ito — 70, 73, 93, 100, 186, 189 Ito — Brauno judesiui 70, 73 Ito — daugiamačiam Brauno jude- siui 186 Ito — daugiamačiam Ito procesui 189 Ito — Ito procesui 93 Ito — …
Excerpt
Lygtis atgalinė Kolmogorovo — 128, 130, 134, 191 augimo — 112 Ferhiulsto — 41, 45, 114, 147 Fokerio-Planko — 134, 137, 191 genetinio modelio — 149 Ginzburgo-Landau — 115 Lanževeno — 107, 111, 141 stochastinė diferencialinė — 43, 76, 95, 187 stochastinė …
Excerpt
196 Sprendinys fundamentalusis — 135 fundamentalusis lygties — 106 stochastinės diferencialinės lygties — 76 Stabilumas Stratonovičiaus integralų — 100 Stratonovičiaus SDL — 102 Taisyklė vidurkių iteracijos — 21 Tankis atsitiktinio dydžio — 17 bendrasis — …
Excerpt
7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys 97 kurioje matome papildomą narį 5 f co; (X,,s)ds. Taigi (+) lygtį, kuri turėtų gerai aprašyti reiškinį, turime papildyti RS nariu ir vietoje jos nagrinėti (+++) lygtį. Panašūs „paradoksai“ apibūdinami Ito integralų …
Excerpt
98 7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys 7.1. Apibrėžimas. Sakykime, X ir Y yra Ito procesai. Proceso Y Stratonovičiaus integralu intervale [0 7] proceso X atžvilgiu vadinama riba , i EA olų — | Velo do E— AD K ne L Čia toliau naudojame įprastinius …
Excerpt
7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys 99 Įrodymas. 1 savybė. Remiantis stochastinių integralų I-ąja savybe (6.8 teiginys), Zo(eX + BY) = Ze(eX + BY)+ 5(Z,aX + BY) S OZ Aaa (eZ, X) + 8(Z, Y)) L o(Z-xX at = Z, X)) si B(Z+Y h (2, Y)) Ia B G 2 savybė. …
Excerpt
100 7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys (ZWMiL (X, B= ZMK JE Ž(ZW, (X20Ą) = (ZW)e (X, Y). Čia pasinaudojome tuo, kad dviejų Ito procesų kovariacijos (kaip reguliaraus proceso) ir bet kokio trečio Ito proceso kovariacija lygi nuliui. A 7.4. Teorema …
Excerpt
7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys 101 Įrodymas. Pažymėkime EO | Ap) (o) NSEIEE < IR? 0 Kadangi F € C2S ir Fl(r, x) = f(t, x), (r, x) < IR, x IR, tai, remiantis 7.4 teorema, 1 1 įeis X")odX" = Flr, X;)— F(O, XI) — [Ele X")ds 0 0 1 — Flr, X,)-— F(O, …
Excerpt
102 7.6. 7578 7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys 1 1 = 0(0, Xo) + [bele X,)ds + [ves X;)dB, 0 0 1 += [ais X,)dlo(-, X.), B) 2) 0 5 1 2 1 1 sa [es X,)ds + = [očeids X,)ds 0 Žada 1 = [vai (s, X,) dB, + reguliarus procesas. 0 (o(-, X.), B) S [acts …
Excerpt
7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys 103 Įrodymas. Tarkime, kad o tenkina tokias aprėžtumo sąlygas: Ore = a (2) LG (+,x) < R, x R. Užrašykime lygtį diferencialiniu pavidalu dX, = b(t,X,)dh E ot, Xu)ield Zr: Remdamiesi 7.3 teiginio 3 savybe, abi lygties …
Excerpt
104 7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys Kadangi C“! < G,(r, x) < …
Excerpt
7. Stratonovičiaus integralas ir lygtys 105 Dėl šio nario negalime tikėtis konvergavimo |X" — X,| — O, nes iš procesų Z" ir Z artumo neišplaukia jų kvadratinių variacijų artumas. Pakanka panagrinėti paprastą atvejį, kai Z = B yra Brauno judesys, 0 Z" — jo …
Excerpt
106 8. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys Kristus, sakydamas „Palaiminti išalkę, nes jie bus pasotinti!“, sprendžia tikimybės lygtį. Charles Baudelaire, Intymūs dienoraščiai 8.1. Apibrėžimas. Tiesine stochastine diferencialine lygtimi (TSDL) …
Excerpt
8.4. 8.5. 6. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys 107 Įrodymas. Patikriname analogiškai: 1 dė;! = d(e7Ž!),= = 2 dZ, > S d(Z), 1 -|2 (a; (1) — 10) dr +e Žbi(t) dB, | + se BR) dt = e"Ži(—a; (1) + 63(1)) dt — e 761 (r) dB, (—a1(1) +63(1))677 dr — bi …
Excerpt
108 8. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys Kai a > O, ši lygtis aprašo dalelės, judančios klampiame skystyje ir veikiamos chao- tiškų molekulių smūgių, greičio kitimą. Koeficientas a > O charakterizuoja skysčio klampumą, o 5 > 0 — molekulių …
Excerpt
6. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys 109 Sprendinys: 15 X, = ToP, = XoeXp |(a — 52 4- bB,|, LŽ) 2. Nehomogeninė lygtis su pastoviais koeficientais: dX, — (aX, + c) dr - (bX, + d) 65), Xo = Xo. Sprendinys: I 1 X, = Š, Ė + (c— bd) Jo; *as vafajan …
Excerpt
110 6. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys kurios sprendinys yra 1 1 5 E(r) = exp | Jauoos| | + [edos |- Javai! i) 120 0 0 0 Beje, šią formulę galima gauti ir pasinaudojus ta pačia 8.4 teorema, imant b; = b> = O. Dabar pritaikykime Ito formulę …
Excerpt
8. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys 111 Diferencijuodami gauname lygtį d0O(t) dt su pradine sąlyga O(0) = x2. Jos sprendinys yra = (2a; (+) + 63 (2)) O(r) + 2(as(r) + bi (1)b2(1)) E (r) + b3(t) 1 I S O(r) ep] Jasas (si + [aso |- Jasonas) L (05 …
Excerpt
112 8. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys 8.1 pav. Lygties dX, = —aX, dr + bdB,, X, = O, sprendiniai, kai b = lira = 1; 4; 16. kurios sprendinys yra ai Y,= (x1 — Xoje"" — 0, I — 00, ir konvergavimas tuo greitesnis, kuo didesnis a. Ateityje (9 …
Excerpt
8.9. 6. Tiesinės stochastinės diferencialinės lygtys 113 Kitos išreikštiniu pavidalu išsprendžiamos lygtys. Lygtis AG, = žo(Xijo (Xi)ar ko (X) aB, a 0, su teigiamu koeficientu oc. Pastebėkime, kad Stratonovičiaus pavidalu ji užrašoma dX, =o(X,)odB;, X os …