Excerpt
154 10. Pavyzdžiai E 0,5 10 20 30 40) 50 60 70 80 90 I Xr Ija A—00—2 0,5 4Hh- 4 i" | p M | J 10 20 30 40 50 60 70 80 90 I X 10 02— A PG NrU BAI ST T a E ž B 0,5 10 20 30 40) 50 60 70 80 90 I X, 1 A 0 — 20 10 20 30 40) 50 60 70 80 90 I 10.8 pav. Genetinio …
Excerpt
155 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Although this may seem a paradox, all exact science is dominated by the idea of approximation. Nors tai ir panašu į paradoksą, visi tikslieji mokslai yra apimti aproksimacijos idėjos. …
Excerpt
156 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Sakoma, kad (X") yra sprendinio X n-osios eilės silpnoji aproksimacija, jei su visais £ € [0, T) E/(X;)- Ef(X:) = O(k"). h— 0, pakankamai plačiai funkcijų /:IR — IR klasei (pavyzdžiui, C7“ …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 157 „Prisiminimai apie paprastųjų diferencialinių lygčių aproksimacijas. Nagrinėkime paprastąją diferencialinę lygtį I X = A) o 0 anbal X Jos. Kea, 016 [0 7). 0 Pažymėję A = T/N, t; = kh, turime …
Excerpt
158 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Ši aproksimacija dar vadinama pagerintąja Oilerio arba Hoino“* aproksimacija. Ji turi jau antros eilės tikslumą; sup |X/ — X,| = O(h2), h— 0. I Determinuotoms lygtims stiprios ir silpnos …
Excerpt
11.3. 11.4. 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 159 Oilerio aproksimacija. Oilerio aproksimacijos analogas (+) stochastinei diferenciali- nei lygčiai yra Oilerio (arba Oilerio-Marujamos“ ) aproksimacija, apibrėžiama lygybė- mis Xi …
Excerpt
160 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Tada iš paskutinės nelygybės turime Elo*(s, X") —o(s, X.)| < 2C(9*(s) +V(h) +), s < [0, T], K > 0. Todėl …
Excerpt
(ES 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 161 X, 0,6 4 0,4 4 0,2 4 0,0 X, 0.6 4 0,4 4 0,2 4 0,0 - X; 0,6 4 lo = (00)! 0,4 + 0,2 1 | 0,0 AND, 02 WML 1 04 0.6 0,8 - 11.1 pav. Oilerio aproksimacijos su įvairiais žingsniais. Pirma, …
Excerpt
162 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Sf = 0 ir(z£) virsta pradine Ito lygtimi 1 I r Ar + | otas + | etxjas. HE Ip Ik Ik Analogiškai kaip ir determinuotos lygties atveju, pritaikę (44) formulę funkcijoms f = bir f = o, gauname …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 163 TS Ka || Įsžeto dB, dB, dB; =: R11 + Ri9 + R153 + R14 + Ris. Ik Ik Ik Liekamąjį narį galime įvertinti: ER“ < C(:— 1)". Pavyzdžiui, Esu 2 BRŽ, = El || |setaoanas, i) Tr paip 2 - Jr |fstetsjan …
Excerpt
164 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 0,44 0,2 4 0.0 0.2 0,4 0.6 0.8 I 0,2 0,4 0.6 0.8 r 11.2 pav. Oilerio (brūkšninė laužtė) ir Milšteino (ištisinė laužtė) aproksimacijų palyginimas. (M) Pabandykime dar pagerinti aproksimacijos …
Excerpt
165 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas su įverčiais ER2. = O(h*), i = 2, 3, 5. Pažymėjus integralą Ik+1S Ik+1 AZp = | Jas. AS Jue. IE B,)ds, Ik Ik Ik kitus du integralus galima išreikšti per jį: Ik5715 Ik+1 Ik+1 du dB, = |t + I) …
Excerpt
166 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Galima būtų tikėtis, kad šios aproksimacijos eilė yra geresnė ir lygi Ž . Tačiau pasirodo, kad tam ją reikia papildyti vienu nariu, gautu patikslinus dar vieną liekamojo nario dėmenį: Iki 1 …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 167 Koreliuotų normaliai pasiskirsčiusių dydžių porą (AB;, AZ;) galima gauti iš nepri- klausomų atsitiktinių dydžių U;, V — N(0, 1) poros: o ca l 1 3/2 AB; = U VA, AZ = 5(Ui + —U2)h . Toliau …
Excerpt
168 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 11.6. Pirmosios eilės silpnosios aproksimacijos. Nagrinėsime homogeninę lygtį 1 1 jų —x+ Įbaujas + Jokjas, :> 0. 0 0 Tirsime jos silpnąsias aproksimacijas pavidalo Xn 4 O S0 AB,) Ik+1 čia a …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 169 h 1 az +5 | > 7 6 Bar 0 h 2 d AC 00) + Įaitunaų )dt + [ZA Alo BA) )dB,. 0 Imdami vidurkį, gauname h E/ (X!) = f(x,0,0) + ĮBaž: DB dis 0 Kartojame gautąją formulę pointegralinei funkcijai EA …
Excerpt
170 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas tikslumo (kaip ir determinuotu atveju) išplaukia pirmosios eilės („globalus“) tikslumas. Norėdami pritaikyti (8) sąlygą, išreikškime A f funkcijos a terminais: 57= f ŽI= £lojų, 2 SI = P loaš …
Excerpt
11.7. 11.8. 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 171 Pastaba. Skaičiavimus suprastinti ir ypač pagreitinti galima Brauno judesio poky- čius AB; — N(O, h) pakeitus tokiais atsitiktiniais dydžiais šį = NK /h, kad E(š;)! = E(AB;)' „i …
Excerpt
172 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas + (b — Loo')(x x)s + 0(x)y + Žoo (x )y?) tenkina šias sąlygas. Taigi jos abi yra pirmosios eilės silpnosios Auulšiniaaj om Kadangi Oilerio aproksimacija yra daug pa- prastesnė nei Milšteino, …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 173 Remiantis didžiųjų skaičių dėsniu, ši suma su tikimybe 1 konverguoja į E/(X!), kai N — oo. Todėl ją galime laikyti teorinio vidurkio E f(X,) įverčiu su paklaida = Dr) - Br) < + Bf (X!) — …
Excerpt
174 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas E/(X,) 15 4 h= 0,1 Uva Dridkskiiis E/(X;) 15 4 KO 10 1 N = 1000 54 NET US, BEO UL, (E /(X;) E/(X,;) 1n = 0,001 10 4N = 10000 In =0,1 10 1N = 10000 NE S Ūžg Loa, A Ds, 15 11.3 pav. Silpnoji …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 175 Jei, pavyzdžiui, EA? f(X,) ir EAš f(x,s, B,),s € [0, T), yra aprėžtos funkcijos, tai: Bf) = f(Y) + AP0)A + AŽ (5 +O(IP) Ef(X!) = f(x) + Af(x,0,0)h + A*ž(x,0, L O) Todėl prie (X) pridėję …
Excerpt
176 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Sulyginę A? f f(x) ir A? f(x) išraiškų koeficientus prie vienodų išvestinių, gauna- me lygtis 11 111 1 11 - / 1 11 (a“, AO ais 12») ) S (bo + 506 J6), 1 1 [lei + 5055)" + 2ajal, + ajaii, + 5 …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 177 keitus koeficientu b + Loo“: al(x) o) 2 = bla), a! X = co'(x , 2a! al (5) = (bo! + bo)(x) + (020" +00")(x) | (82) a i a ES 2 B) + L(bo“ + boo" +b'o0 * b'c2)(x) 1 (cšo"! +4020'0" +00! GO) R …
Excerpt
178 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas Rinkdamiesi koeficientus c5—c7, turime gana daug laisvės. Imkime c4 = GG 0) Gauname tokią antrosios eilės silpnąją aproksimaciją (ji taip pat vadinama Milšteino aproksimacija): 1 / 1 / 2 …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 179 kurioje funkcija a apibrėžiama lygybe (:), koeficientai sutampa su determinuotos lygties dX, = o(X,) dt ketvirtosios eilės Teiloro aproksimacijos Ik+1 XI, a(XI 0.1) = XI ko (XI) + Zoo (XII i …
Excerpt
180 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas programuojant, kai reikia perprogramuoti tik kiekvienos naujos lygties koeficientus; be to, sudėtingų koeficientų atveju nereikia gaišti laiko išvestinių skaičiavimui. Panagri- nėsime RK …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 181 Stratonovičiaus lygtį su koeficientu b = b — žoo (x) vietoje b. Tiesa, taip būtume pri- versti naudoti koeficiento 0 išvestinę, bet tai geriau nei naudoti po dvi koeficientų 0 ir b …
Excerpt
182 11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas (S2) lygtis, RK aproksimacijos parametrams gauname 15 sąlygų, kurių pakanka, kad aproksimacija būtų antrosios eilės (kaip silpnoji aproksimacija): 0-5 o 2 — r1B1 4-roB2 +- 7383 "183 + 7582 + …
Excerpt
11. Stochastinių diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas 183 Kaip rasti bent vieną šios 15 lygčių sistemos sprendinį? Atrodytų, uždavinys ga- na sudėtingas. Tačiau, laimei, pirmosios septynios lygtys gerai žinomos determinuotų diferencialinių lygčių …