Excerpt
P. KATILIUS DIFERENCIALINĖ GEOMETRIJA VALSTYBINĖ POLITINĖS IR MOKSLINĖS LITERATŪROS LEIDYKLA VILNIUS — 1961 …
Excerpt
PRATARMĖ Šis diferencialinės geometrijos kursas pirmoje eilėje yra skiriamas fizikos matematikos fakultetų studentams ir yra parašytas, prisilaikant reikalaujamos programos. Tačiau yra ir kai kurių nukrypimų nuo programos. Visų pirma, plokščių kreivių …
Excerpt
ĮŽANGA Diferencialinėje geometrijoje nagrinėjamos kreivių ir paviršių sa- vybės. Analizinėje geometrijoje taip pat nagrinėjamos kreivės ir pavir- šiai. Bet analizinėje geometrijoje apsiribojama tik antros eilės kreivėmis ir paviršiais. Aukštesnių eilių …
Excerpt
tyrimas labai dažnai leidžia susidaryti vaizdą apie kreivę arba pavir- šių visumoje. Klasikinė diferencialinė geometrija paprastai skirstoma į dvi dalis: kreivių“ teoriją ir paviršių teoriją. Kreivių teorija dažnai skirstoma i plokščių kreivių teoriją ir …
Excerpt
I DALIS KREIVIŲ TEORIJA S 1. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos ir jų ribos Vektorinis skaičiavimas susideda iš dviejų dalių: vektorinės algeb- ros ir vektorinės analizės. Vektorinėje algebroje vektorius laikomas pastoviu, vektorinėje analizėje — …
Excerpt
8 Kreivių teorija (d. absoliutinis didumas artėja į nulį. Vektorių U, vadiname kintamo vektoriaus U(+) riba ir žymime: i lim U (£) Zz U- E, : arba U El U.. | Taigi matome, kad kintamo vektoriaus ribos apibrėžimą suvedėme į skaliarinės (vartojamos …
Excerpt
sn “ Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos 9 Sudarome skirtumą a() U()— a U=2()(U()— U,)+-[a(0— 2) Us (T) iš kur turime: izų) Uu) —a) U,| < |a()| | U()— U,|+]|a(:)—a,| | Us]. Artėjant r į r,, dešinės pusės pirmo dėmens antras daugiklis, o antro …
Excerpt
10 Kreivių teorija Hu Turint galvoje, kad dviejų vektorių vektorinės sandaugos absoliutinis didumas yra nedidesnis už jų absoliutinių didumų sandaugą, gau- name: |ĮU()xVV)- Us x Vo < |U(D| | V()- Vo|+-1U()- Vol | Vol. Kadangi pagal (2), artėjant į rą, …
Excerpt
$2] Tolydinės ir diferencijuojamos funkcijos 1) Jeigu vektorinė funkcija yra diferencijuojama kiekviename taške iš in- tervalo į, …
Excerpt
19:48 Kreivių teorija (td. Padaliję (10) iš Az ir vietoj U, ir V, paėmę U(r4) ir V(r4), turime: A(U(z) V (O) 2 ) AUG Vi) UC ACS Artėjant £ į z4, pagal (3), (8) ir (17) dešinė pusė virsta (20) dešine puse, todėl tvirtinimas yra įrodytas. 4. (U(ea)x Vo) = U …
Excerpt
s 3] Vektorinių funkcijų geometrinė interpretacija 13 „ Jos, geometriškai interpretuojant, reiškia tą pačią kreivę, kaip ir (22) lygtis. (23) lygtis vadiname kreivės koordinatinėmis parametrinėmis Iyg- timis. Kadangi k T (1) = ix (2) +- jy (+) + kz (0), …
Excerpt
14 Kreivių teorija a Kadangi kreivės taškas £= /, yra paprastas, tai 7“ (:) 550, o dėl to bent viena iš išvestinių x“ (£4)) V (6), z/ (2) nelygi nuliui. Tegu x (r) 750. Tuomet pagal neišreikštinės funkcijos egzistavimo dėsni lygtis e TE) taško := 4 …
Excerpt
$ 4] Vektorinės funkcijos išdėstymas Teiloro eilute 15 Jau davėme vektoriaus 7 (:) krypties geometrinę interpretaciją, bet nieko nepasakėme apie jo absoliutinį didumą. Vektoriaus 1“ (+) absoliutinio didumo geometrinės interpretacijos ir negalima duoti. …
Excerpt
16 Kreivių MIA [I d. x()=x(1)) TX "(t) = x (1) ESET I AĖ (t i Ais +) (p) LL zi 1 A, Sa A OCE 40 AG ap > Sek = Bin —1,)7+1 : "1 e) p 62) z (+) =zž(i4) 2 (6) 2 LZ UZ = = - o |) -- * "m — "11 2 nl 0) pata o 2 EN kur liekamuose nariuose /,, /> , Iz reikšmės …
Excerpt
$ 4] Vektorinės funkcijos išdėstymas Teiloro eilute 17 Šios lygties kairė pusė yra vektorinės funkcijos pokytis, išreiškiamas —> vektoriumi 4,4 (2 brėž.). Dešinės pusės pirmasis dėmuo yra vekto- rius A, A", kuris eina kreivės liečiamąja; mes jį …
Excerpt
18 Kreivių teorija [I d. Taigi gavome, kad kairės pusės vektorius, kuris eina kreivės styga, riboje, £ artėjant į r4, artėja į pilnai apibrėžtą vektorių 77* (to) ži Tokiu būdu, ir kreivės liečiamoji, kuri yra kreivės stygos, kaip tiesės, ribinė padėtis, …
Excerpt
S Sli Kreivės lanko ilgis 19 tokiu būdu, , A;A;= |T" (ti) (tiki — Li): Sudarome visuose kreivės taškuose A; paimtų diferencialų absoliutinių didumų sumą n—-1 n—l | Yaa-y 1=0 1=0 Įrodysime, kad (43) ir (44) sumos artėja prie tos pačios ribos, jeigu tik …
Excerpt
20 : Kreivių teorija a. Šią nelygybę tik sustiprinsime, dešinėje sumos pusėje kiekvieno nario vieną daugiklį £;;, — f; pakeitę maksimalia reikšme A, n-1 n-1 ž ja T liai —6)— "c0|- 2 |r“ ane 1=0 =() n-l => as 1=0 Kadangi dešinėje pusėje esančių daugiklių …
Excerpt
5 d.] Kreivės lanko ilgis 21 iš kur gauname: » s' (2) = |7 (2) |. (46) Kadangi 7' (+) £0, tai s' (r) yra visur teigiama, 0 s(:) monotoniškai didėjanti funkcija. Todėl ne tik kiekvieną £ reikšmę vienareikšmiai atitinka s reikšmė, bet ir atvirkščiai, …
Excerpt
22 Kreivių teorija L d. r išreikšti parametru s ne visada įmanoma. Todėl tenka vartoti ir formules su bet kokiu parametru. Norėdami atskirti išvestines pagal bet kurį parametrą : nuo išvestinių pagal parametrą s, pirmąsias Žy- mėsime su brūkšneliais, …
Excerpt
$ 5] Uždaviniai 23 4. Įrodyti, kad jei duotame intervale |T|=const., tai T „kto in atvirkščiai. 5. Įrodyti, kad T7' =rr. 6. Įrodyti, kad kreivė, duota lygtimi T=ai+0, kur 4 ir b yra pastovūs vektoriai, yra tiesė. 7. Įrodyti, kad kreivė, duota lygtimi …
Excerpt
24 Kreivių teorija [I d. Rasti paprastos cikloidės anko ilgį, atskaityrą nuo :=—0Ū iki r. 1 [= 40 (i —C0S 7 :) ir s=8a, jei :—=22- ] 15. Epicikloide vadinama kreivė, kurią brėžia apskritimo bet kuris taškas A, jeigu apskritimas rieda kitu apskritimu, …
Excerpt
$ 61 Kreivės liečiamoji ir normalinė plokštuma 25 19. Rasti Archimedo spiralės, duotos polinėse koordinatėse lygtimi Tr=a9, į lanko ilgį, atskaitytą nuo O iki 9. [=> (sViž6+ne+V 79). ] S 6. Kreivės liečiamoji ir normalinė plokštuma Tegu kreivė duota …
Excerpt
26 Kreivių teorija | ŽIE d. kur x, y, z yra taško A koordinatės, o x, y, z yra liečiamosios taško B koordinatės. (54) lygtys yra liečiamosios koordinatinės parametrinės lygtys (parametras 3). Eliminavę iš jų X, gauname: ; 7 7 7 + y z Xx—x = ZZS 1 (55) tai …
Excerpt
$ 6] Kreivės liečiamoji ir normalinė plokštuma 27 Kairėje pusėje visi determinantai negali būti kartu lygūs nuliui; prie- šingu atveju turėtume, kad ir visos išvestinės x“, y', = yra lygios nuliui, todėl ir 7'(:) —0, ir kreivės taškas yra ypatingas …