Excerpt
68 Kreivių teorija [t-4. Iš tiesų, jei kreivė yra plokščia, tai jos glaustinė plokštuma yra pačios kreivės plokštuma, vadinasi, visos binormalės yra lygiagretės, o vektorius B yra pastovus. Taigi 8=0 visoms parametrų reikšmėms ir iš (128) lygties gauname, …
Excerpt
$ 11] Kreivių kreivumas ir sukimasis 69 laikrodžio rodyklės sukimąsi, t.y. kreivės įgaubimas lieka iš kairės pusės (40 brėž.), tai kreivis yra teigiamas. Jeigu liečiamoji sukasi pagal laikrodžio rodyklės sukimąsi, t.y. kreivės įgaubimas lieka iš de- šinės …
Excerpt
70 Kreivių teorija 4 [T d. Tokiu būdu matome, kad (134) lygtyje, traukiant šaknį, reikia imti 4 ženklą. Aišku, kad (136) formulėje s ir r turi kartu didėti. Atskiru atveju, jeigu kreivė duota lygtimi V=J(2), tai prilyginę . p 22 iš (136) gauname: 1 "Žž …
Excerpt
PDP $ 11] Uždaviniai TI 66. Įrodyti, kad kreivė T = (ai? +-bjt 1-4) 1-9 (ast? )- bzt +- C> ) T- k (ast? )- bt 1-c3) yra plokščia; rasti plokštumos lygtį, kurioje ji yra. xX—4 4 6 7'““=0, todėl ir x=0, plokštumos lygtis: | y—c4 23 bg |=0. Z—C; G, bp 67. …
Excerpt
2 Kreivių teorija [I d, kreivį bet kuriame taške. tą“ Tą 2 [+= a(14+ 42) 72. Rasti kardioidės r=a(l +cos9) [r 4a cos D kreivį bet kuriame taške. 73. Kuriame taške kreivė y=lnx turi didžiausią kreivumą ir kokį? 22 74. Rasti kreivės, duotos lygtimi F(x, …
Excerpt
"RNR PPM A $ 12] > Sere—Frene formulės 73 iš kur, diferencijuodami pagal s, SS d VŽ B | EE — xtT+Bx LS Įstatę 27 ir 2 reikšmes iš (125) ir da lygčių, turime: av vxT + Bx v ds [A T arba, atsižvelgę į (80), v T B a E gu tai ir yra ieškomoji formulė. Tokiu …
Excerpt
74 ; Kreivių teorija [T d. kur a yra kampas tarp vektorių o ir a. Paskutinę lygtį galime ir taip užrašyti: |5-|=10xai. (139) hi 2 d . 4 Kadangi vektorius yra statmenas vektoriams 0 ir d, be to, sukimasis, žiūrint iš vektoriaus 0 galo, vyksta prieš …
Excerpt
$ 12] Sere—Frene iormulės , 75 nentų xT ir Ap. Taigi ir triedro sukimąsi aplink vektorių 0 galime laikyti susidedančiu iš dviejų pasisukimų: vienas aplink vektorių B ir antras aplink vektorių T. Sukimasis aplink vektorių B vyksta sukimosi greičiu | B|, t. …
Excerpt
76 Kreivių teorija [I d. (135) lygų. Antrąją galime Balis tiesiog iš pirmosios. Kadangi vekto- rius v yra vienetinis, tai, išdiferencijavę pagal s, gauname: av ' 14 = (). Vadinasi, 4 yra statmenas v ir kolinearinis T, taigi > dv - > (145) kur a yra …
Excerpt
mwwrvwr PP $ 12] Sere — Frene formulės 77 T, v ir B, į (146) lygtį ir sugrupavę pagal vektorius T, V, p, gauname: rO=(—- -8+ > Jia žų va +(7kx8+---)B (147) kur skliausteliuose taškais pažymėti eilučių nariai aukštesniuose kaip 3 laipsniuose. Iš (147) …
Excerpt
78 Kreivių teorija [T d. iš vienos glaustinės plokštumos pusės i kitą yra skirtingi. Galima duoti tokią praktišką taisyklę nustatyti kreivės posūkio ženklui. Jeigu mes žiūrime iš kurios nors glaustinės plokštumos pusės ir atrodo, kad taškas juda kreive …
Excerpt
PA $ 12] 2 Sere—Frene formulės 79 Imdami pirmą ir trečią lygų ir eliminavę iš jų s, galiname pro- jekcijos į ištiestinę plokštumą lygtį, t. y. => kAA. Ši lygtis yra kubinės parabolės lygtis. Kreivė, eidama per koordina- čių pradžios tašką, liečia x ašį ir …
Excerpt
502: Kreivių teorija Ė [I d. nėjant projekcijas į normalinę ir ištiestinę plokštumas, reikia skirti - atvejus, kai p yra lyginis ir nelyginis skaičius. Kai > yra lyginis skai- čius, pakeitus s į —s, z ženklas nesikeičia, o nelyginio p atveju jis keičiasi. …
Excerpt
$ 13] Kreivių lietimasis 81 S 13. Kreivių lietimasis Apibrėždami kreivės duotame taške liečiamąją, iš visų tiesių, ei- nančių per kreivės tašką, išskyrėme vieną, kuri labiausiai yra prisi- glaudusi prie kreivės, t.y. eina per jos du be galo artimus …
Excerpt
80 A 5 kų 2 A B —> “ — Tuomet vektorius, 4,4, palyginus su s, yra pa eilės nykstamai mažėjantis dydis. Jeigu vektoriai 7, ir 75 kolineariniai, tai kreivės taške A, turi bendrą liečiamąją ir mes sakome, kad jos liečiasi. Tačiau vektoriai 7; ir 7, gali būti …
Excerpt
si io y m i i a i a io i a i i i AP 9 E] sa Ž Kreivių lietimasis 83 reiškia, kad kreivių 2 susikirtimo taškų sutampa, arba, kad kreivės turi 2 bendrų be galo artimų taškų. Išnagrinėsime, kokios turi būti patenkintos sąlygos, kad kreivės turėtų 7 eilės …
Excerpt
84 Kreivių teorija L d. Atėmę iš antros lygties pirmą ir priėmę, kad kreivės turi 7 eilės lietimąsi, t.y. kad funkcijų f, ir /, ir jų išvestinių iki m eilės, kai x=x,, reikšmės sutampa, gauname: 64 (x— x )7+1 J-(2)— A (5)= (r D — AD a) FED TR Panašiai …
Excerpt
VRP $ 13] , Kreivių lietimasis 85 Kreivių susikirtimo taškas nėra ypatingas taškas nė vienos kreivės, " todėl galima priimti, kad x (t)) Z0, E, (*0> Yo) 70. (154) Todėl abiejų kreivių taško (x4; Yo) aplinkoje y-kai gali būti išreikšti . kaip x funkcijos. …
Excerpt
86 Kreivių teorija [T dž Kad taške :=—:4 kreivių lietimasis būtų 2— 1 eilės, turi būti paten- kintos šios sąlygos: UA O" (tos C> Ep 5 p) =0, (157) k L Ta 5 c)=0. Turime 7 lygčių ir 2 nežinomųjų c; k EU Dabar turime 1+ 1 lygtį ir 741 nežinomąjį: r4, Cc, C> …
Excerpt
$ 18] š ; Kreivių lietimasis a 87 Ši gauta lygtis, jeigu iš jos galima surasti r,, rodo, kad surastas taš- kas yra kreivės ištiesinimo taškas. Vadinasi, kreivės ištiesinimo taške liečiamosios lietimasis su kreive yra antros eilės. Antru pavyzdžiu imame …
Excerpt
BB 2 Kreivių teorija [T d. Dabar laikome ne tik a, 6 ir 7, bet ir ;; nežinomu, kuriuos reikia surasti iš (159) ir (161) lygčių arba iš (160) ir (161) lygčių. Įstatę į (161) lygtį 2, 6 reikšmes iš (160) lygčių, gauname: — (+ 0-7 0) (* 03" Ce) —2“" CY Ca) + …
Excerpt
„— $ 14] Glaustinis apskritimas ir glaustinė sfera : 89 taške := 7 turėtų 3 eilės lietimąsi. [G —a7)* 184 (y — 22) = 0.] 91. Įrodyti, kad parabolė Vx+V7y=2 x2 132 —6x—6y1 10—=0 taške (1, 1) turi 3 eilės lierimąsi. 92. Rasti paraboles, kurios su elipse …
Excerpt
90 Kreivių teorija [I d. apskritimo kintamą radiusą vektorių 7, jį galima išreikšti kaip susikirtimą sferos (7 —7,)? = R? (163) su kreivės glaustine plokštuma kur 7 yra kreivės taško, kuriame norima išvesti glaustinį apskritimą, radiusas vektorius. Iš …
Excerpt
5 14] Glaustinis apskritimas ir glaustinė sfera 91 Iš (165) pirmosios ir (166) lygčių randame: PRO Tokiu būdu, gavome, kad kreivės duotame taške glaustinio apskritimo radiusas yra lygus to taško kreivumo radiusui, 0 jo centras yra ant pagrindinės normalės …
Excerpt
92 Kreivių teorija [I d.. padauginę iš eilės iš T, V, B ir atsižvelgę į (165) ir (167) lygtis, randame: M (168) RZR+(;- ŠV. (169) (168) ir (169) lygtys duoda glaustinės sferos centro vektorių ir spin- dulį. Tiesė, kuri eina per kreivės duoto taško …
Excerpt
$ 14] Glaustinis apskritimas ir glaustinė sfera 93 arba R yra pastovus; tokiu būdu, visos glaustinės sferos, turėdamos tą patį centrą ir tą patį spindulį, sutampa, o pati kreivė guli ant šios sferos. (171) lygtis charakterizuoja sferinę kreivę. Pastovaus …
Excerpt
94 Kreivių teorija [I d. Pakėlę šią lygtį kvadratu, gauname: == Tokiu būdu, pastovaus kreivumo kreivės kreivumo centrų geometrinė vieta yra taip pat pastovaus kreivumo kreivė. Šios naujos kreivės krei- vumo centrų geometrinė vieta yra T=TįrV=T-TrV—7T, …
Excerpt
TT0> --PPEEPEPPMNNPMV $ 15] : Kreivių šeimos gaubiamoji s 95 103. Įrodyti, kad kreivė, duota lygtimi 2aiš 2at 2ai? So 4841 ? A 410251 ? T 41641 :į yra sferinė. 104. Įrodyti, kad kreivė yra sferinė, jeigu jos visos normalinės plokštumos eina per vieną …
Excerpt
6 Kreivių teorija [I d. taškais. Jų koordinates gausime iš (175) lygčių, leisdami Aa artėti į nulį, t.y. iš lygčių F(x, y, 0)=0, AE 0 (176) Gali būti, kad iš (176) lygčių gauti taškai nėra ribiniai, t.y. kad šei- mos artimos kreivės nesikerta, todėl jos …
