Excerpt
178 Paviršių teorija [II d. Ši sąlyga yra patenkinta, jeigu paviršius duotas lygtimi T=T,(U) + r; (0), (92) nes T.„— 0. Paviršiai (92) tipo. vadinami rransliaciniais paviršiais, nes jie gali būti gauti, lygiagrečiai judant kreivei 7.= 7, (4) arba kreivei …
Excerpt
$ 10] Trečioji kvadratinė forma 179 72. Ant helikoido xX=vcosų, y=vsinu, z=4u rasti kreivių šeimą, kuri su kreivių šeima 4-4 v= const sudarytų sujungtinį tinklą. …
Excerpt
180 Paviršių teorija [II d. prasmės sistemą, kaip ir sferos vektoriai 2, M, M. Šiuo atveju sa- koma, kad paviršius ir sfera vienodai orientuoti. Antru atveju, jei vektoriai 7, 7,, 1 sudaro dešininę sistemą, tai 1, Nn, T — kairinę; šiuo atveju sakoma, kad …
Excerpt
. $ 10] Trečioji kvadratinė forma 181 todėl ploto S diferencialas yra dS= V EG-— Fždudo, dS= |T,XT,| du dv. Šią lygtį galima parašyti pavidalu dS= (T, du, T,dv, n). (96) Skirtumas su aukščiau stovinčia lygtimi yra tik tas, kad pagal (96) ant teigiamai …
Excerpt
182 Ėė Paviršių teorija HI d. K=0 atveju. Tik šiuo atveju ne tik 4S* bet ir S* visuomet lygus nuliui, nes šiuo atveju vienas iš vektorių m, ar m, yra lygus nuliui. Iš tiesų, jei K= 0, tai iš (99) seka ZS* = 0, bet S*ž=|n,Xn,|du do, taigi turi būti ir …
Excerpt
$ 10] Trečioji kvadratinė forma 183 Taigi iš tiesų gavome, kad trečiąją kvadratinę formą galima tiesiškai išreikšti per pirmąsias dvi. Pilnai išvysčius (100) lygtį, kadangi du ir dv yra nepriklausomi, tai koeficientai prie du?, du dv ir dv? turi būti …
Excerpt
184 4 "Paviršių teorija || 25 [II d. Kadangi asimptotinėm linijom II=0, tai iš (100) lygties turime; Vadinasi, S Ši formulė, rišanti asimptotinių linijų sukimąsi su paviršiaus kreivumu, vadinama Beltramio (Beltrumi) ir Eneperio (Enneper) formule. Asimp- …
Excerpt
$ 1] Vienparametrinės paviršių šeimos 185 H : 75. Rasti minimalinį paviršių P*, lygiagretų paviršiui P, kurio = 7 00nst H [r (u, 0)=7T (u, V) + saiC? 2). 76. Įrodyti, kad dviejų lygiagrečių paviršių Gauso ir vidutiniai kreivumai surišti lygtimis H*-4K …
Excerpt
186 Paviršių teorija [II d. Tačiau (105) paviršių susikirtimo kreivė, Az artėjant į nulį, gali ir neturėti ribinės kreivės, o (106) lygtis gali reikšti konkrečią kreivę. Kreivę, duotą (106) lygtimis, vadiname paviršiaus, atitinkančio para- metro a …
Excerpt
sales Vienparametrinės paviršių šeimos 187 o diskriminantinio paviršiaus 0a (Xos Jos Zos Lo) 3 Fa (*0 Yo Z0 80) T- Fi (X Yos Z0> Go) = a (Xa> Vos Zos 40) r (X Vos Zos 40) + Fa(Xos Vos Z0> Go) - Žv 2 Oa (Xų, » 20 Go) F, (o Yo Zoo 4) -- Fi (X; Vo 05 Go) 2 …
Excerpt
188 Paviršių teorija [II d. Šeimos paviršiai gali turėti ne vieną arba kelis ypatinguosius taš- kus, bet visą kreivę ypatingųjų taškų. Tuomet visos šeimos ypatin- gieji taškai gali sudaryti ne (109) lygtimi - duotą kreivę, bet paviršių, kurį galima …
Excerpt
$ 11] Vienparametrinės paviršių šeimos „189 Kadangi A ir A gali artėti į nulį nepriklausomai, tai, kai Ž— 0 ir +—-0, šios lygtys virsta Ė F(a)=0, F.(a)=0, F,„(a)=0. (111) Tokiu būdu, ribiniai taškai, jei jie egzistuoja, turi patenkinti (111) lyg- tis. …
Excerpt
190 Paviršių teorija [II d. sudarytų su koordinačių ašimis, kosinusai yra proporcingi koeficien- tams prie dx, dy, dz, kuriuos nustatys lygtys, gaunamos, diferencijuo- jant (106) lygtis, kuriose jau a laikoma x, y, z funkcija. Turime: F,dx4- F,dy4 F.dz 4 …
Excerpt
$ 11] Vienparametrinės paviršių šeimos 191 spindulio sferų šeimos gaubiamasis paviršius vadinamas kanalinių pa- viršiumi. Kanalinius paviršius tyrinėjo Fosas (Voss). (114) lygčių paskutiniosios dvi duoda (113) kreivės taško kreivumo ašį, kuri su sfera …
Excerpt
- 192 Paviršių teorija B Li) 7'(a) turi būti statmenas per charakteristiką einančių (116), (117) plokštumų normaliniams vektoriams AN ir N“, t, y. WD, "Nr 0. Išdiferencijavę šių lygčių pirmąją pagal a ir atsižvelgę į antrą, gau- name: Nr' =0. Nr'=0, …
Excerpt
$ 11] Vienparametrinės paviršių šeimos 193 lygiagrečiai vienai plokštumai. Bet kuri šeimos plokštuma, būdama statmena vektoriui M, yra taip pat statmena šiai plokštumai. Tokiu bū- du, šeimos plokštumų susikirtimo tiesės yra lygiagretės, todėl ir cha- …
Excerpt
194 + Paviršių teorija [II d. Šiuos taškus, jeigu jie tikrai egzistuoja, vadiname paviršiaus a, b cha- rakteringaisiais taškais. Eliminavę iš (125) lygčių parametrus a, b, gau- sime lygtį D(x, y, z)=0, (126) kuri reiškia paviršių, vadinamą dviparametrinės …
Excerpt
1 $ 11] Uždaviniai | . 195 kur a, 5 yra parametrai, 7 konstanta. Išdiferencijavę šią lygtį pagal a ir b, gauname: „—— „y — 0 Vri—ai— 83 2,2 Vri-ai—p i Eliminavę iš šių lygčių a, b, gauname; x L yžzi= y Tokiu būdu, duotos dviparametrinės plokštumų šeimos …
Excerpt
196 Paviršių teorija [II d. ir T=(vT)v +(67)B + VivT*1-(B7T)? (Gvcosę+-Bsinų) yra ciklidės vektorinė parametrinė lygtis, kur parametrai yra s ir +.] 83. Rasti pereitame uždavinyje nagrinėjamos sferų šeimos grįžimo briauną. [Grįžimo briauną nustato lygtys …
Excerpt
$ 15] į Kreivių šeimos gaubiamoji : 97 3. Kreivių šeima duota lygtimi F(x, y, 0)=F, (x, y)— a=0. Dvi šios šeimos kreivės neturi bendrų taškų, todėl negali turėti ir ribinių taškų. Charakteringuosius taškus reikėtų ieškoti iš (176) lyg- 'čių. Bet šiuo …
Excerpt
98 až Kreiviį teorija [I d. Reikšmės x4; y4; a4 turi patenkinti abi (176) lygtis, todėl pirmoji iš jų duoda F (x05 Vos ap) =0, t.y. šeimos kreivė, atitinkanti parametro a reikšmę a4, irgi eina per tašką (x4, Yo). Surasime taške (44, y4) šeimos kreives 24 …
Excerpt
$ 15] Kreivių šeimos gaubiamoji 99 Šiuo atveju šeimos kreivės a, taškas (x4, va) yra ypatingasis taškas. Vis tik galima įrodyti, kad šeimos kreivių ypatingieji taškai priklauso dis- kriminantinei kreivei. Jeigu taškas (x4, yg) yra šeimos kiekvienos …
Excerpt
100 Kretvių teorija : 3 [Eid, Norint surasti šeimos ŠKreivę, kuri eitų per duotą tašką Go Y0)> reikia spręsti lygtį Fl(xos Yo 3) —O (183) a atžvilgiu. Ši lygtis gali turėti kelias šaknis. Vadinasi, randame ke- lias šeimos kreives, einančias per tą paų …
Excerpt
Šio ini iais is $ 15] "Uždaviniai 108 110. Rasti gaubiamąją, priėmus; kad 109 uždavinyje duota kreivė yra elipsė x=aco0st, y=bsint. . [-- acosši, y=bsinš: arba, eliminavus t; 2 (5) +()-1 11!. Rasti pastovaus ploto S elipsių, kurių simetrijos ašys yra tos …
Excerpt
— 102 Kreivių teorija S (Id, Jos tikrosios šaknys yra IsV31V2V53 , 4+V3-V2V3 2 5 t . t, =0, t1— 3 Diskriminantinė kreivė susideda iš trijų tiesių iš 24 3a(t;— 13) B 3a (t; — 13) x—y=U, X-—/ 115 :] 1174 . Pirmoji tiesė yra mazgų geometrinė vieta ir nėra …
Excerpt
$ 161 . ' Kreivių evoliutos ir evolventos 103 (184) kreivės taške x9= x (20), Yo—Y (to) išvestos normalės lietimosi tašką su gaubiamąja gausime iš (187) lygčių, dešinėje pusėje įstatę /4 vietoje r. Palyginę dabar gautas X (t) ir y(r)) reikšmes su a ir b …
Excerpt
104 Kreivių teorija š [I d. Pačmę (189) lygties abiejų pusių absoliutinius didumus ir atsi- žvelgę, kad v yra vienetinis vektorius, turime; dr | | dr ds || de arba 4 |ĮdT|=| dr. (190) Pažymėję evoliutos lanko diferencialą do, šią lygų galime užrašyti …
Excerpt
$ 16] Kreivių evoliutos ir evolventos 105 Teigu kreivė turi ištiesinimo tašką, tai jame A=-—0, Ly. 7-0, ir ant evoliutos mes neturime atitinkamo taško. Kreivės taškui artė- jant prie ištiesinimo taško, evoliutos taškas tolsta į begalybę (54 brėž.). Šiuo …
Excerpt
106 ; Kreivių teorija ( d. Kadangi T 7-0, nes kreivės C taškas nėra ypatingas, tai 114'=0 arba suintegravus UC S Įstatę šią argumento s funkciją 4 į (193) lygtį, gauname evolventos lygtį T=T-+-(c—S)T. (194) Į evolventos lygtį įeina laisva konstanta c; …
Excerpt
$ 16] Kreivių evoliutos ir evolventos 107 nes AB'=c,—s, AB|= (į — 535 o iš šių ir (195) lygčių gauname (196). Išnagrinėjome plokščių kreivių evoliutas ir evolventas. Panašiai nag- rinėsime ir erdvines kreivės. Jeigu plokščių kreivių, glaustiniv ap- …