Excerpt
ĮŽANGA Diferencialinėje geometrijoje nagrinėjamos kreivių ir paviršių sa- vybės. Analizinėje geometrijoje taip pat nagrinėjamos kreivės ir pavir- šiai. Bet analizinėje geometrijoje apsiribojama tik antros eilės kreivėmis ir paviršiais. Aukštesnių eilių …
Excerpt
tyrimas labai dažnai leidžia susidaryti vaizdą apie kreivę arba pavir- šių visumoje. Klasikinė diferencialinė geometrija paprastai skirstoma į dvi dalis: kreivių“ teoriją ir paviršių teoriją. Kreivių teorija dažnai skirstoma i plokščių kreivių teoriją ir …
Excerpt
I DALIS KREIVIŲ TEORIJA S 1. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos ir jų ribos Vektorinis skaičiavimas susideda iš dviejų dalių: vektorinės algeb- ros ir vektorinės analizės. Vektorinėje algebroje vektorius laikomas pastoviu, vektorinėje analizėje — …
Excerpt
8 Kreivių teorija (d. absoliutinis didumas artėja į nulį. Vektorių U, vadiname kintamo vektoriaus U(+) riba ir žymime: i lim U (£) Zz U- E, : arba U El U.. | Taigi matome, kad kintamo vektoriaus ribos apibrėžimą suvedėme į skaliarinės (vartojamos …
Excerpt
sn “ Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos 9 Sudarome skirtumą a() U()— a U=2()(U()— U,)+-[a(0— 2) Us (T) iš kur turime: izų) Uu) —a) U,| < |a()| | U()— U,|+]|a(:)—a,| | Us]. Artėjant r į r,, dešinės pusės pirmo dėmens antras daugiklis, o antro …
Excerpt
10 Kreivių teorija Hu Turint galvoje, kad dviejų vektorių vektorinės sandaugos absoliutinis didumas yra nedidesnis už jų absoliutinių didumų sandaugą, gau- name: |ĮU()xVV)- Us x Vo < |U(D| | V()- Vo|+-1U()- Vol | Vol. Kadangi pagal (2), artėjant į rą, …
Excerpt
$2] Tolydinės ir diferencijuojamos funkcijos 1) Jeigu vektorinė funkcija yra diferencijuojama kiekviename taške iš in- tervalo į, …
Excerpt
19:48 Kreivių teorija (td. Padaliję (10) iš Az ir vietoj U, ir V, paėmę U(r4) ir V(r4), turime: A(U(z) V (O) 2 ) AUG Vi) UC ACS Artėjant £ į z4, pagal (3), (8) ir (17) dešinė pusė virsta (20) dešine puse, todėl tvirtinimas yra įrodytas. 4. (U(ea)x Vo) = U …
Excerpt
s 3] Vektorinių funkcijų geometrinė interpretacija 13 „ Jos, geometriškai interpretuojant, reiškia tą pačią kreivę, kaip ir (22) lygtis. (23) lygtis vadiname kreivės koordinatinėmis parametrinėmis Iyg- timis. Kadangi k T (1) = ix (2) +- jy (+) + kz (0), …
Excerpt
14 Kreivių teorija a Kadangi kreivės taškas £= /, yra paprastas, tai 7“ (:) 550, o dėl to bent viena iš išvestinių x“ (£4)) V (6), z/ (2) nelygi nuliui. Tegu x (r) 750. Tuomet pagal neišreikštinės funkcijos egzistavimo dėsni lygtis e TE) taško := 4 …
Excerpt
$ 4] Vektorinės funkcijos išdėstymas Teiloro eilute 15 Jau davėme vektoriaus 7 (:) krypties geometrinę interpretaciją, bet nieko nepasakėme apie jo absoliutinį didumą. Vektoriaus 1“ (+) absoliutinio didumo geometrinės interpretacijos ir negalima duoti. …
Excerpt
16 Kreivių MIA [I d. x()=x(1)) TX "(t) = x (1) ESET I AĖ (t i Ais +) (p) LL zi 1 A, Sa A OCE 40 AG ap > Sek = Bin —1,)7+1 : "1 e) p 62) z (+) =zž(i4) 2 (6) 2 LZ UZ = = - o |) -- * "m — "11 2 nl 0) pata o 2 EN kur liekamuose nariuose /,, /> , Iz reikšmės …
Excerpt
$ 4] Vektorinės funkcijos išdėstymas Teiloro eilute 17 Šios lygties kairė pusė yra vektorinės funkcijos pokytis, išreiškiamas —> vektoriumi 4,4 (2 brėž.). Dešinės pusės pirmasis dėmuo yra vekto- rius A, A", kuris eina kreivės liečiamąja; mes jį …
Excerpt
18 Kreivių teorija [I d. Taigi gavome, kad kairės pusės vektorius, kuris eina kreivės styga, riboje, £ artėjant į r4, artėja į pilnai apibrėžtą vektorių 77* (to) ži Tokiu būdu, ir kreivės liečiamoji, kuri yra kreivės stygos, kaip tiesės, ribinė padėtis, …
Excerpt
S Sli Kreivės lanko ilgis 19 tokiu būdu, , A;A;= |T" (ti) (tiki — Li): Sudarome visuose kreivės taškuose A; paimtų diferencialų absoliutinių didumų sumą n—-1 n—l | Yaa-y 1=0 1=0 Įrodysime, kad (43) ir (44) sumos artėja prie tos pačios ribos, jeigu tik …
Excerpt
20 : Kreivių teorija a. Šią nelygybę tik sustiprinsime, dešinėje sumos pusėje kiekvieno nario vieną daugiklį £;;, — f; pakeitę maksimalia reikšme A, n-1 n-1 ž ja T liai —6)— "c0|- 2 |r“ ane 1=0 =() n-l => as 1=0 Kadangi dešinėje pusėje esančių daugiklių …
Excerpt
5 d.] Kreivės lanko ilgis 21 iš kur gauname: » s' (2) = |7 (2) |. (46) Kadangi 7' (+) £0, tai s' (r) yra visur teigiama, 0 s(:) monotoniškai didėjanti funkcija. Todėl ne tik kiekvieną £ reikšmę vienareikšmiai atitinka s reikšmė, bet ir atvirkščiai, …
Excerpt
22 Kreivių teorija L d. r išreikšti parametru s ne visada įmanoma. Todėl tenka vartoti ir formules su bet kokiu parametru. Norėdami atskirti išvestines pagal bet kurį parametrą : nuo išvestinių pagal parametrą s, pirmąsias Žy- mėsime su brūkšneliais, …
Excerpt
$ 5] Uždaviniai 23 4. Įrodyti, kad jei duotame intervale |T|=const., tai T „kto in atvirkščiai. 5. Įrodyti, kad T7' =rr. 6. Įrodyti, kad kreivė, duota lygtimi T=ai+0, kur 4 ir b yra pastovūs vektoriai, yra tiesė. 7. Įrodyti, kad kreivė, duota lygtimi …
Excerpt
24 Kreivių teorija [I d. Rasti paprastos cikloidės anko ilgį, atskaityrą nuo :=—0Ū iki r. 1 [= 40 (i —C0S 7 :) ir s=8a, jei :—=22- ] 15. Epicikloide vadinama kreivė, kurią brėžia apskritimo bet kuris taškas A, jeigu apskritimas rieda kitu apskritimu, …
Excerpt
$ 61 Kreivės liečiamoji ir normalinė plokštuma 25 19. Rasti Archimedo spiralės, duotos polinėse koordinatėse lygtimi Tr=a9, į lanko ilgį, atskaitytą nuo O iki 9. [=> (sViž6+ne+V 79). ] S 6. Kreivės liečiamoji ir normalinė plokštuma Tegu kreivė duota …
Excerpt
26 Kreivių teorija | ŽIE d. kur x, y, z yra taško A koordinatės, o x, y, z yra liečiamosios taško B koordinatės. (54) lygtys yra liečiamosios koordinatinės parametrinės lygtys (parametras 3). Eliminavę iš jų X, gauname: ; 7 7 7 + y z Xx—x = ZZS 1 (55) tai …
Excerpt
$ 6] Kreivės liečiamoji ir normalinė plokštuma 27 Kairėje pusėje visi determinantai negali būti kartu lygūs nuliui; prie- šingu atveju turėtume, kad ir visos išvestinės x“, y', = yra lygios nuliui, todėl ir 7'(:) —0, ir kreivės taškas yra ypatingas …
Excerpt
28 Kreivių teorija [T d. Kreivės, duotos kitais pavidalais, normalinės plokštumos lygtis atitinkamai yra G—-x)+ +(05—5)Y +(2—2)7=0, x—*1 (1-7 (5) +-(E—2)9 (2)=0, = E, Iš — 1 Ą I, E: y E) o, 6. a 6—3) d. 6, 6. o, Aišku, kad kalbėdami apie kreivės normalinę …
Excerpt
s Erdvinės kreivės glaustinė plokštuma 29 Kadangi glaustinė plokštuma yra plokštuma, einanti per kreivės tris be galo artimus taškus, tai ji surišta su pačia kreive ir todėl ne- turi priklausyti nuo kreivės parametrizacijos, t. y. jeigu įvestume vie- toj …
Excerpt
30 Kreivių teorija (ta. —> Iš kitos pusės, BA" ilgis yra lygus vektoriaus 44" projekcijos į viene- tinį vektorių 72 absoliutiniam didumui, taigi vektorių AA“ ir m ska- liarinei sandaugai, jeigu BA“ bus suteiktas atitinkamas ženklas. Tokiu būdu, , žų , h " …
Excerpt
sa Erdvinės kreivės glaustinė plokštuma 31 kokią savybę turi kreivės taškas, jeigu 7'(£) ir 79“ (£) yra kolineari- niai, t.y. lygiagretūs. Tegu kreivės kiekvienas taškas turi šią savybę, tuomet bet kuriai £ reikšmei vektorių 7“ (£) ir 7“ (+) koordinatės …
Excerpt
32 Kreivių teorija [T d. S 8. Krcivės judamasis triedras Esame susipažinę su kreivės liečiamąja, normaline ir glaus- tine plokštuma. Kiekvieną tiesę, kuri eina per kreivės tašką ir yra jos normalinėje plokštumoje, vadiname kreivės normale. Aišku, kad …
Excerpt
$ 8] Kreivės judamasis triedras 33 kurį, išskleidus dvilype vektorine sandauga, galima parašyti pavidalu (7')? 7 is S (T'7"') T. (65) Todėl pagrindinės normalės lygtis yra T=T7l(T'xXT")XT, (66) arba 17=T7-+1 [> 7— (T'7') 1“ Ž (67) Ištiestinė plokštuma yra …