Excerpt
148 Paviršių teorija [EH d. ir paviršiaus taško, per kurį išvesta kreivės liečiamoji, normalės vie- netinis vektorius m yra statmeni, todėl 1-0. Išdiferencijavę šią lygtį pagal s ir atsižvelgę į kreivių teorijos pirmąją Sere— Erene formulę, gauname: vn dr …
Excerpt
"PPL NE —NrS $ 4] Antroji pagrindinė kvadratinė forma 149 iš kur, atsižvelgę į (42), turime: LST mn, NS 1 Išdiferencijavę pirmąją pagal v, antrąją pagal 4, gauname; T,„N--T,N,=0, T,,n-A-T,N,=0, iš kur randame: —T,N,= — T, Nn, = TN. Tokiu būdu, M=T.,,N. I …
Excerpt
150 Paviršių teorija [II d. Tegu per paviršiaus tašką A išvedėme ant paviršiaus kreivę, duo- tą (39) lygtimi ir liečiamąją plokštumą (62 brėž.). Ant kreivės imame "tašką A', kuris atitinka parametro s reikšmę sĄ- As. Iš taško A“ nu- leidžiame statmeni į …
Excerpt
$ 4] Uždaviniai . 151 Jeigu apsiribosime tik antros eilės aplinka, t. y. As aukštesniuose kaip antrame laipsnyje atmesime, ir priimsime dėmesin dar (44), tai galutinai gausime: d= 5 (L du? +2 Mdudo + N do"). Tokiu būdu, pusė antros kvadratinės formos …
Excerpt
152 Paviršių teorija [II d. 97. Įrodyti, kad plokštumos antrosios kvadratinės formos koeficientai bet kurioje parametrizacijoje identiškai lygūs nuliui. Nurodymas. Tarti, kad plokštumos 2 — const. 28. Įrodyti, kad sferos antrosios ir pirmosios kvadratinių …
Excerpt
s 5 Kreivių ant paviršių kreivumai 153 plokštumom, einančiom per paviršiaus normalę. Iš visų plokščių piū- vių per paviršiaus tašką duotąja kryptimi yra tik vienas normalinis; jo plokštumą nustato per tašką einančios kreivės liečiamoji ir pavir- šiaus …
Excerpt
154 Paviršių teorija [II d. duota kryptimi išvestas plokščias piūvis yra apskritimas AC'D“, jo kreivumo radiusas yra apskritimo radiusas AO'. Aišku, kad AO" = AO cos (O' 40). Menije dėsnis leidžia, žinant normalinio piūvio kreivumo radiusą, surasti ta …
Excerpt
s 5] : Kreivių ant paviršių kreivumai 155 arba Vadinasi, ant sferos (50) sąlygos yra identiškai patenkintos. Tai gali- ma spręsti ir iš to, kad ant sferos per bet kurį tašką išvesti norma- liniai piūviai yra sferos didieji apskritimai ir todėl visų …
Excerpt
156 Paviršių teorija [II d. Be to, dar iš (29) lygties turime: ž W sin 0 — ———. V EG MS EEA E giė (53) sin e Tokiu būdu, Dabar (52) lygtį galime Ša pavidalu 1 L sinž(e—8 sin(e—8)sin8 ", N sinž8 ART L — ——) Šia lygtimi normalinio piūvio kreivumo radiusas R …
Excerpt
wyppyPP "7 ME 551 Kreivių ant paviršių kreivumai 157 Atveju, kai „LN — Mž …
Excerpt
158 Paviršių teorija [II d. Bet vektorius m yra vienetinis, tai i nn,=0, nn,=0, vadinasi, vektoriai m, ir m,, būdami statmeni vektoriui 2, yra liečia- moje. plokštumoje. Kadangi vektoriai „ir T, nėra kolineariniai ir yra taip pat liečiamoje plokštumoje, …
Excerpt
. $ 5] Uždaviniai 159 . Susumavę gautus rezultatus, gauname: tiriant ant paviršiaus duo- tos kreivės kuriame nors taške kreivumą, užtenka rasti kreivumą plokščio piūvio; pagal Menije dėsnį plokščio piūvio kreivumą išreiš- kiame normalinio piūvio kreiyumu, …
Excerpt
160 Paviršių teorija [II d. 33. Rasti ant paviršiaus E a umbilinius taškus. ž aš [-—* a, y= a, Z= £. 24 34. Rasti ant elipsoido —z=l (a> 6> 0 P EI [+= 12 = y=0, z=+c ale i, 35. Rasti ant dvišakio hiperboloido "r A A A 0> 0) umbilinius taškus. ai — B / ar …
Excerpt
$ 6] Pagrindinių normalinių piūvių kreivumai 161 (64) lygti parašome pavidalu k=k,—sinž8 (k, — k,). Dešinėje pusėje antrasis narys yra teigiamas, todėl 4 gauname, iš A, atėmę teigiamą dydį, vadinasi, bet kokiam 8 k < ki. Parašę (64) lygtį pavidalu k=k, | …
Excerpt
162 Paviršių teorija [II d. kiek jų sandauga ir suma. Iš (68) lygties randame KAT IN M LŽ RIMA M AEG A MS IEN PM GE Ailmleai Eo Bi K (69) K vadinama paviršiaus Gauso kreivumu, arba paviršiaus pilnu kreivu- mu, arba tiesiog paviršiaus kreivumu, H — …
Excerpt
$ 7] i Kreivumo linijos 163 43. Skirtumas H?— K vadinamas Eulerio skirtumu. Įrodyti, kad umbiliniuose taškuose ir tik juose Eulerio skirtumas lygus nuliui. 44. Nuo kiekvieno paviršiaus P taško ant normalių 2 atidėjus to pačio 11- gio atkarpas A, jų galai …
Excerpt
164 : Paviršių teorija [II d. mei nustato pagrindines kryptis du: dv. Sutvarkę (67) lygtis pagal Ą, turime: LduA- Mdv—k(Edu + Fdv)=0, Madu + Ndo —k(Fdu + Gdo) =0. (1) Eliminavę k, gauname: LduĄ-Mdv9 Edu Fdo — i (72) Mdu5- Ndo Fdu4 Gdv 2 arba (LF — ME) du? …
Excerpt
WP PPHTHPPVHSP MAP EVER s 7 “ Kreivumo linijos 165 turime kreivę u=u(t), v= (1). Kiekvienam šios kreivės taške išvedame paviršiui normalę m; tuomet kreivės radiusas-vektorius 7“ ir jos taškuose išvestos paviršiui norma- lės vektoriai m yra t funkcijos. …
Excerpt
166 Paviršių teorija [II d. Parašome (77) lygtį išvystytu pavidalu T,du-+- T,dv > +- R(n,du> - n,dv) =0. Padauginę iš eilės iš 7, ir 7, ir priėmę dėmesin (19) ir (44) lygtis, turime: Edu; Fdv— R(Ldu 4 Mdv)=0, Fdu4+-Gdv— R(Mdu4+ Ndv)=0. Gautos lygtys, jose …
Excerpt
sn . Kreivumo linijos 167 mąjį paviršių ir dėl to lygiagretė yra Kiciguiia linija. Tuo mūsų tvirtinimas yra įrodytas. Bet kuriame sukimosi paviršiaus taške A vieno pagrindinio nor- malinio piūvio kreivumo centras sutampa su meridiano taško A krei- vumo …
Excerpt
168 Paviršių teorija [II d. viršiaus yra drauge ir kreivumo linijų tinklas. Dabar, pasirėmę Rod- rigo formule, įrodysime; kad sfera ir plokštuma yra vieninteliai pa- viršiai, sudaryti iš umbilinių taškų. Jeigu paviršius sudarytas vien iš umbilinių raškų, …
Excerpt
s Kreivumo linijos 169 eina po 3 paviršius. Kas du paviršiai susikerta pagal kreivę, kurią gauname laikydami du parametrus pastoviais, o trečią kintamu; taigi per kiekvieną tašką eina po 3 kreives. (80) lygtis išreiškia triparamet- rinę paviršių sistemą. …
Excerpt
* 170 Paviršių teorija [II d. mo linijos. Tačiau problema įsprausti paviršių į triortogonalinę pavir- šių sistemą yra ekvivalenti kreivumo linijų diferencialinės lygties inte- gravimui. . Kartais iš kitų geometrinių nagrinėjimų yra žinoma, kad duotas …
Excerpt
. $ 81 Asimptotinės linijos 171 51. Rasti hiperbolinio paraboloido az=xy kreivumo linijas. [ Susikirimo hiperbolinio paraboloido su cilindrais (++1 BpB)(y+ V ai )-a ir (++V BT3)=a(y+ V EEZŲ kreivės. 52. Rasti hiperbolinio paraboloido, duoto parametrinėmis …
Excerpt
* 172' Paviršių teorija [II d. Ant paviršiaus kreivę, kurios bet kurio taško liečiamosios kryptis su- tampa su to taško „asimptotine kryptimi, vadiname asimprotine linija. (83) lygtis yra diferencialinė lygtis; jos bendrasis sprendinys duoda visas …
Excerpt
$ 8] Asimptotinės linijos 173 paviršiaus paimta kreivė yra tiesė, tai 7,,= 0, ir todėl L = 0; vadina- si, tiesė yra asimptotinė linija. JA Duosime šio dėsnio antrą įrodymą. Bet kuriam plokščiam piūviui kryptimi du:dv pagal (47) turime: 058 B cos9= Ldu* + …
Excerpt
174 : Paviršių teorija | II -d.] Priėmę dėmesin, kad šiose lygtyse po radikalu esantis reiškinys yra teigiamas ir kad L, M, N yra u, v funkcijos, turime dvi diferenciali- nes lygtis tipo 2 AC AA (88) Šių lygčių bendrieji sprendiniai duoda dvi asimptotinių …
Excerpt
$ 8] Uždaviniai 175 iš neigiamo kreivumo taškų, eina po dvi asimptotines linijas; panašiai teigiamo kreivumo taške neegzistuoja asimptotinių linijų. Per nulinio kreivumo tašką, jei jo aplinka susideda vien iš nulinio kreivumo taš- kų, eina po vieną …
Excerpt
176 Paviršių teorija [II d. 64. Įrodyti, kad paviršius yra minimalinis, t. y. kurio H=Ū, tada ir tiktai tada, kai asimptorinės linijos yra statmenos. 65. Įrodyti, kad, paviršių projektyviai transformuojant, asimptožinės lini- jos pereina į asimptotines …
Excerpt
s 9 Sujungtiniai tinklai 177 Paviršiaus tinklas, kurio kiekviename taške kreivių liečiamųjų kryp- tys yra sujungtinės, vadinamas sujungtiniu tinklu. Sujungtinį tinklą ga- lima sudaryti tokiu būdu. Paviršiuje išvedame vienparametrinę kreivių šeimą. Tegu …