Excerpt
144 Paviršių teorija [II a. Turime: —— AA,=T(u1- Au,0)— T (u, 0) = T, Au 4-e, Au, =: AA,=T(u,04- A0)— T(u,9)=—7,Av 1-s,A2, ——:- kur e, ir e, artėja į nulį drauge su Au ir Ap. Imame vektorių AA, —=: ir AA, diferencialus 7,A4 ir 7,Av. Jie yra taško A …
Excerpt
s 3 Pirmoji pagrindinė kvadratinė forma 145 Lieka dar įrodyti, kad S nepriklauso nuo D padalijimo į dalines sri- tis būdo, t. y. nepriklauso nuo paviršiaus parametrizacijos. Tegu naujos kreivalinijinės koordinatės U, V surištos su senosiomis lyg- timis …
Excerpt
146 Paviršių teorija (11 d. krypčių nustatymas, paviršiaus ploto suradimas priklauso paviršiaus vidaus geometrijai. Vėliau mes tirsime ir kitus paviršiaus vidaus geo- metrijos klausimus. 1 UŽDAVINIAI 17. Rasti pirmąją kvadratinę formą paviršių: 1. Sferos …
Excerpt
£ 9] Plokščių kreivių ypatingieji taškai 47 ! 2. Bernulio lemniskatės, duotos lygtimi (48 -y9— Za (at — 320, koordinačių pradžios taškas yra ypatingas, ir, be to, mazgo taškas, nes jame EBU PI 0 BL — 4a AS Goa 0) : Ypatingame taške kreivės liečiamąsias …
Excerpt
48 Kreivių teorija na 5. Kreivė duota lygtimi F(x, yY=-(y—2— 50. F9=F9=0, F0,=2, A=0. Parašę kreivės lygtį pavidalu = 3, matome, kad ji patenkina 1b atvejo sąlygas, t.y. …
Excerpt
£9 1 Plokščių kreivių ypatingieji taškai 49 Šiuo atveju yra patenkintos 2b atvejo sąlygos. Kreivė susideda iš dviejų parabolių y=xž ir y=2x,, kurios koordinačių pradžios taške liečia x ašį iš vienos pusės (20 brėž.). 9. Kreivė duota lygtimi F(x, y)= (2 …
Excerpt
50 Kreivių teorija [T d. Čia (0, 0) yra ypatingasis taškas; jame F. neegzistuoja. Kreivei artė- jant į (0, 0) iš kairės, ypatingasis taškas yra lyg kreivės sustojimo taškas. 2. Kreivė duota lygtimi ka a "= a - 11e* Kai x =0 ir y=0, nežiūrint iš kurios …
Excerpt
/ $ 9] Uždaviniai 51 49, Bet kurios kreivės konchoide vadinama kreivė, gaunama kaip geomet- rinė vieta taškų, atidėjus nuo kiekvieno kreivės taško ant radiuso-vektoriaus pastovaus ilgio a atkarpą. Apskritimo konchoidė, jeigu poliumi laikome ap- skritimo …
Excerpt
52 š Kreivių teorija 4 (I d. 44. Rasti kreivės *—4x2—3y*1 127 —12=0 ypatinguosius taškus ir nustatyti jų charakterį. [(0, 2) — izoliuotas taškas.] 45. Rasti kreivės x 1-34—2x*7—25711=0 ypatinguosius taškus ir nustatyti jų charakterį. Kokia tai kreivė? …
Excerpt
$ 10] " Plokščių kreivių asimptotės 53 S 10. Plokščių kreivių asimptotės Tiriant kreivę, o ypatingai norint nustatyti jos formą, jeigu kreivė turi šakų, tolstančių į begalybę, labai svarbu yra surasti jos asimpto- tes. Kreivės asimptore vadinamos jos …
Excerpt
54 Kreivių teorija | as todėl ys —x'i(xy—y'x) = (gcos p —siną): (p sing T- cos 9): —48, iš kur, kai „— 0, gauname: . yi—xi(xXy—y'x)=0:li—a. Taigi hiperbolinės spiralės asimptotė yra tiesė y =a (30 brėž.). Jeigu kreivė duota lygtimis F(x, y;=0 arba y=j(5), …
Excerpt
E dao mi 15 610] “Plokščių kreivių asimptotės i i 55 kur F(x, y, £) yra homogeninis m-to laipsnio kintamųjų x, y, : dau- gianaris. Ieškome kreivės, duotos (109) lygtimi, susikirtimo taškų su k y=mx br. (110) Iš (109) ir (110) eliminavę y ir sutvarkę gautą …
Excerpt
i 2 ua i 56 . Kreivių teorija [T d. tik tuomet bus liečiamoji, jeigu ji eis ir dar per vieną kreivės be galo artimą tašką. Todėl tiesė su kreive turi susikirsti 4-1 kartotinumo taške. Analiziškai šio taško koordinatės turi patenkinti ne tik (111) lygti, …
Excerpt
= $ 10] Plokščių kreivių asimptotės 57 | Todėl kreivės asimptotė yra p x+y+a-0 | Kreivė asimptotės x=c negali turėti, nes lygtyje yra 7? Ieškodami kreivės ypatingųjų taškų, gautume, kad (0, 0) yra kreivės ypatingasis dvilypis mazgo taškas, ir kad kreivė …
Excerpt
sm A as i i ri SL ZR 58 Kreivių teorija | [I Įstatę į šią lygtį y=mx--b ir itvarkę pagal x laipsnius, gauname: Im? Ambx3 1 (26 — a? — m?) x? < : Kreivės lygtis yra ketvirto laipsnio, bet lygtyje nėra nei 14 nei marių, todėl kreivė gali turėti dar …
Excerpt
$ 10] i “| Plokščių kreivių asimptotės 59 yra kreivės asimptotė, nes kreivės taško atstumas nuo tiesės, kreivės taškui tolstant kreive į begalybę, artėja į nulį. Todėl ieškosim krei- vės asimptočių tik tipo 2 vy=mx--b, (1175 kur tiesė nėra lygiagreti y …
Excerpt
60 Kreivių teorija a Aišku, kad šiuo atveju, jei :— 14, tai x—> 00. Todėl antrąją lygybę galima parašyti pavidalu . i Kadangi kairės pusės riba yra pastovus dydis bį; O pasi daugik- Hs x—0, tai antrasis daugiklis AA ES p. x x It Tokiu būdu, 25 bA0) a gs x …
Excerpt
TMP PSP VN MN PNMNYOPP $ 10] Uždaviniai 61 kai x—> oo, neturi ribos. Todėl ir asimptotė, kaip liečiamosios ribinė padėtis, neegzistuoja. Šiuo atveju (35 brėž.) kreivė svyruoja aplink x ašį prie jos artėdama, kai x—00, o tuo tarpu liečiamosios kryptis, * …
Excerpt
62 Kreivių teorija Mad. 59. Rasti kreivės sin X x y=mx-nia asimptotes. - [y=mx4-n Apolonijaus apibrėžimu.] 60. Jeigu n-tos eilės algebrinės kreivės lygtį galima parašyti pavidalu (y—ax—b)(y—334—65): + "(y —a54—01) +-fn1 (x, Y)=0, kur .a;, 5; yra …
Excerpt
$ 11 Kreivės kreivumas ir sukimasis 63: Einant prie ribos, kai As artėja į nulį, | lim m As—0 BB, =I, todėl =lim * : AT k= lim i As+—> 0 AS as—> 0! A5 Taigi kreivės taške A kreivis yra santykio kampo, kuriuo pasisuka liečiamoji, su kreivės lanko ilgiu …
Excerpt
"ej kada Eouja (I d. Erdvinės kreivės glaustinė plokštuma keičiasi, taškui judant kreive, tuo pačiu keičiasi ir jai statmenas binormalės vienetinis vektorius B. Jeigu B yra pastovus, tai kreivė yra plokščia. Vadinasi, B pokytis charakterizuoja kreivės …
Excerpt
'$ 11] Kreivės 'kreivumas ir sukimasis 65 "kur a yra proporcingumo konstanta. Pakėlę šią lygtį kvadratu, gau- name: d 2 1 i ( 2 => A i (127) Tokiu būdu, a=14> +. Sutarsime a laikyti —x, tuo pačiu mes nustatome ir kreivės posūkio ženklą, kurio geometrinę …
Excerpt
60 Kreivių teorija (d. iš kur matome, kad r išvestinė pagal s gaunama iš išvestinės pagal t, padsuginus ją iš = Pagal šią taisyklę gauname: a G RT Ti G A Ti i "ve57 kur trūkstamieji nariai išreiškiami tiesiškai vektoriais *"' ir 7. Įstatę šias 7, T, 7 …
Excerpt
$ 11] Kreivių kreivumas ir sukimasis 67 Taigi 7 „ab až Įž, 72 Še až, VAS Da 1 0, (Tr) 8 a2b. Įstatę šias reikšmes į (131) ir (132; lygtis, gauname: aa K Aug L S 12 (a? 1623* 3 R T až Cbž Ž Kaip matome, sraigto linijos kreivis ir posūkis nepriklauso nuo …
Excerpt
68 Kreivių teorija [t-4. Iš tiesų, jei kreivė yra plokščia, tai jos glaustinė plokštuma yra pačios kreivės plokštuma, vadinasi, visos binormalės yra lygiagretės, o vektorius B yra pastovus. Taigi 8=0 visoms parametrų reikšmėms ir iš (128) lygties gauname, …
Excerpt
$ 11] Kreivių kreivumas ir sukimasis 69 laikrodžio rodyklės sukimąsi, t.y. kreivės įgaubimas lieka iš kairės pusės (40 brėž.), tai kreivis yra teigiamas. Jeigu liečiamoji sukasi pagal laikrodžio rodyklės sukimąsi, t.y. kreivės įgaubimas lieka iš de- šinės …
Excerpt
70 Kreivių teorija 4 [T d. Tokiu būdu matome, kad (134) lygtyje, traukiant šaknį, reikia imti 4 ženklą. Aišku, kad (136) formulėje s ir r turi kartu didėti. Atskiru atveju, jeigu kreivė duota lygtimi V=J(2), tai prilyginę . p 22 iš (136) gauname: 1 "Žž …
Excerpt
PDP $ 11] Uždaviniai TI 66. Įrodyti, kad kreivė T = (ai? +-bjt 1-4) 1-9 (ast? )- bzt +- C> ) T- k (ast? )- bt 1-c3) yra plokščia; rasti plokštumos lygtį, kurioje ji yra. xX—4 4 6 7'““=0, todėl ir x=0, plokštumos lygtis: | y—c4 23 bg |=0. Z—C; G, bp 67. …
Excerpt
2 Kreivių teorija [I d, kreivį bet kuriame taške. tą“ Tą 2 [+= a(14+ 42) 72. Rasti kardioidės r=a(l +cos9) [r 4a cos D kreivį bet kuriame taške. 73. Kuriame taške kreivė y=lnx turi didžiausią kreivumą ir kokį? 22 74. Rasti kreivės, duotos lygtimi F(x, …
Excerpt
"RNR PPM A $ 12] > Sere—Frene formulės 73 iš kur, diferencijuodami pagal s, SS d VŽ B | EE — xtT+Bx LS Įstatę 27 ir 2 reikšmes iš (125) ir da lygčių, turime: av vxT + Bx v ds [A T arba, atsižvelgę į (80), v T B a E gu tai ir yra ieškomoji formulė. Tokiu …