Excerpt
938 “| Paviršių teorija Ė [I a, Bet 2 dyl duž Ė - t-1= 115717 Z—-=T, Ti, (195) todėl ši T= Tu (491-27,5ūli? I 7,5 (21-72 1 Ti, arba T= T, UT) Tri. Istatę į šią lygti vietoje 7;; jų reikšmes iš (150) lygties, gauname; K-=Ti T, pina Ti, arba T T -a-8 -a-B …
Excerpt
$ 18] Kreivės ant paviršiaus geodezinis kreivumas 239 kur J yra proporcingumo daugiklis; aišku A2= Ę2. -- a g Priėmę mes tuo pačiu suteikiame geodeziniam kreiviui ženklą. Dabar (200) lygtį galima parašyti pavidalu Dt Iš kur gauname: AR Vietoj D įstatę jo …
Excerpt
9240 “| Paviršių teorija [II d. Kadangi ; ds= V gu (du!) )- 2gj5 du? du? Ą- gr (du?)? , tai „Au 1 E Ek V1+ 2857 (00) + g5,f (Už ž Todėl Vel (u2) 4:2 Ti + (075—-[)f (T = 2 2 f! (už (207) Iz -- 2215f (0) 18327 (u7)ž] ž Specialiu atveju, kai kreivė yra …
Excerpt
$ 19] Geodezinės kreivės 421 Jeigu koordinačių sistema ortogonalinė, tai (209) ir (211) lygtis išvys- tytoje formoje galime parašyti tokiu pavidalu: 1 0g 1 Og Bit Didi — o B Aaa (212) 2g11 V a duB pa 2855 Vei Out Senoje simbolikoje ortogonalinėje …
Excerpt
242 i Paviršių teorija [II d. E 1-2 yra lygus nuliui ir geodezinis kreivis yra lygus nuliui, vadinasi, taš- “kas yra geodezinis. Tokiu būdu, kad kreivė ant paviršiaus būtų geo- dezinė, būtina 11 pakankama, kad kiekviename taške jos pagrindinė nor- malė …
Excerpt
$ 19] Geodezinės kreivės 943 už kaip funkciją v!. Šiuo atveju iš (207) lygties, prilyginę k,=0, gau- name geodezinių kreivių diferencialinę lygtį pavidalo Tana Tela) + Al T (Gur) + + (275) — T, 0. (217) Iš diferencialinių lygčių teorijos ia kad duotoms …
Excerpt
244 Paviršių teorija [II d. kio paviršiaus. Užtenka paimti siaurą popieriaus juostą, kurios viduriu išvesta tiesė. Juostą klojant ant paviršiaus, tiesė išsilenkia į paviršiaus geodezinę kreivę. it Norint analiziškai nustatyti geodezines kreives ant …
Excerpt
$ 19] Geodezinės kreivės 245 arba Ž dž yž G dul dyž ds2 13 Oul ds * ds =0. Šią lygtį, atsiminę, kad G yra tik u! funkcija, galime parašyti pavi- dalu E d du + (0 57)=0 iš kur suintegravę gauname: G (220) Bet pagal (53) lygčių pirmąją, atsižvelgę, kad mūsų …
Excerpt
246 Paviršių teorija [II d. antros eilės paviršiai, pastovaus kreivumo paviršiai ir visi paviršiai į juos išlenkiami Pažymėję u, 2 raidėmis'u! ir uŽ, turime: 1 En=81=U4V, Eu> =0, Ek y A Randame: || 7 7 7 to = > V T į I 1 1 1 1 Ei R Tri= > Us Na pk ir pa …
Excerpt
$ 20] Pusiau geodezinės koordinatės ant paviršiaus 247 UŽDAVINIAI 117. Įrodyti, kad paviršiaus geodezinė kreivė yra drauge ir jos asimptoti- nė linija tik tuo atveju, jei ji yra tiesė. 118. Įrodyti, kad paviršiaus geodezinė kreivė yra drauge ir jo …
Excerpt
248 į Paviršių teorija i [II d. tiškai nagrinėjamoje srityje. Atvirkščiai, jei (221) lygtis nagrinėjamoje srityje yra patenkinta identiškai, tai ul kreivės yra geodezinės, nes už=c yra (215) antrosios diferencialinės lygties sprendinys. Panašiai gauname, …
Excerpt
$ 20] Pusiau geodezinės koordinatės ant paviršiaus 249 nę kreivę. Tokią geodezinių kreivių šeimą vadiname geodezinių krei- vių lauku. Lauko geodezines kreives laikykime ul kreivėmis. Geode- zinių kreivių lauko ortogonalines trajektorijas laikykime 12 …
Excerpt
250 Paviršių teorija [II d. Apibrėždami pusiau geodezinę koordinačių sistemą, mes iš anksto priėmėme, kad ant paviršiaus egzistuoja geodezinis laukas. Dabar įrodysime, kad ant paviršiaus įvairiais būdais galima konstruoti geo- dezinį lauką ir tuo pačiu …
Excerpt
$ 20] Pusiau geodezinės koordinatės ant paviršiaus 251 Be to, kadangi 1 yra geodezinės kreivės ilgis, tai iš ds = V gp du! gauname, kad £1 = Il Todėl Og T ET aŽis Bet Du =8- Th 82 Tu= a Ti taigi 0g AS = gia Ti Suintegravę šią diferencialinę lygtį, …
Excerpt
252 Paviršių teorija [II d. rąja geodezine poline koordinate 7 laikome geodezinės kreivės lanko ilgį, atskaitytą nuo taško O. Aišku, r ir o, kai …
Excerpt
$ 20] Pusiau geodezinės koordinatės ant paviršiaus 253 tai [oe I (0 vo=(57) +> (5)- Už Ob 1 Oy 0 V na ie AaGi o koordinatėse ul, už — aB 0p 04 A. gap9m Oma žo V(ę)=£ V S A Ouž OuB * ę ir ( gali būti bet kokios skaliarinės funkcijos. Priimame p(u, 0)=u, …
Excerpt
254 Paviršių teorija [II d. be to, tegu A ir B taškų koordinatės u,, 24 ir u,, 2, šią lygtį paten- kina. Tuomet kreivės atkarpos tarp taškų A ir B ilgis yra Ua dv 2 s= J Vi+o(2) du. L Kadangi G > 0, tai L [lažas B] | alsiu—ui Ur Ui | tuo mūsų tvirtinimas …
Excerpt
$ 21] Nepastovaus kreivumo paviršių lenkimas 255 P' — koordinatėse uY, u2', tai izometrinių paviršių atitinkamuose taš- kuose turi galioti pareinamybės KRaluSa)—K(2L Euže (230) kur K yra paviršius P Gauso kreivumas, o K' paviršiaus P' Gauso kreivumas. Ši …
Excerpt
256 Paviršių teorija sd už, už ir iš kintamųjų 1“, už' reikšmės ul, už, kad tapatingai būtų patenkintos lygtys K(ul, už) = K' (ul, už'), v(Kt, u)=vV (K 04, 429). Šios lygtys geometriškai nusako, kad turi būti ant kiekvieno pavir- šiaus po tašką, kuriuose …
Excerpt
: $ 21] Nepastovaus kreivumo paviršių lenkimas 957 koordinatėse sutampa. Tam tikslui reiktų (230), (231) lygtis išspręsti, pavyzdžiui, išreikšti J UV =uV (ul, už), ut =u? (ul, už), įstatyti šias uY ir u?' reikšmes į paviršiaus P! pirmąją kvadratinę for- …
Excerpt
258 . Paviršių teorija [I d. Tokiu būdu, paviršiaus pirmoji kvadratinė forma įgauna pavidalą: V (už) (du!)*—2y (ul, už) du! du* 4-7 (u?) (du?) V (u?) V (už) — y (ul, 2) 2 (235) dsž= Įvedę ant paviršių P ir P' koordinates K, VK ir K", y'K', jų pir- mąsias …
Excerpt
$ 21] Nepastovaus kreivumo paviršių lenkimas 259 Sutraukę matome, kad du paviršiai P ir P' yra izometriniai, jei: 1. Yra patenkinta (230) lygtis, t. y. jei atitinkamuose taškuose Gauso kreivumai yra tie patys; jei paviršiai neturi tokių taškų, ku- riuose …
Excerpt
260 Paviršių teorija [II d. arba, atsižvelgę į (238), ; Vu) = 1 Kaip matome, ši lygtis sutampa su (227) lygčių pirmąja. Parenkame » kaip ul, už funkciją, kuri būtų (227) lygčių antrosios sprendinys, ir, be to, tokią, kad taške A O0(u, v 0 (ul, 2 T0. Tai …
Excerpt
262 Paviršių teorija [Had Skirsime du atvejus: 1. Funkcijos c, (2) ir c,(v) nėra tiesiškai suriš- tos. 2. Funkcijos c;(2) ir c4 (2) yra tiesiškai surištos. 1. Kadangi c, ir c, nėra tiesiškai surištos, tai (246) lygties dešinioji pusė nėra pastovi ir tokia …
Excerpt
$ 29] ' Paviršių lenkimas į sukimosi paviršius s 263 parašę v, pirmąją kvadratinę formą parašome pavidalu dsž = duž —- 4 (u)* dvž. (249) Aišku, kad šiuo pakeitimu geodezinės' lygiagretės nepasikeičia. $ 19 turėjome, jei plokščią kreivę x=u, Zz=9(u) …
Excerpt
264 Paviršių teorija [II d. kur a yra bet kokia teigiama konstanta, 4 yra ta pati funkcija, kuri figūruoja (249) lygtyje, o u' yra kreivės lanko ilgis. Reikia dar rasti z kaip u' funkciją. Plokščios kreivės lanko diferencialas yra ds* — dx? - dz, bet jis …
Excerpt
$ 22] Paviršių lenkimas į sukimosi paviršius 265 delius gabalus, galima gauti abipus vienareikšmį izometrinį atvaizda- vimą. Kadangi konstantą a jos apribojimo srityje galima laisvai pasirinkti, tai turime visą šeimą sukimosi paviršių, į kuriuos galima …
Excerpt
266 Paviršių teorija [II ad. Bet atitinkamų lygiagrečių apskritimų spinduliai yra skirtingi. Jeigu a V — Ii. Be to, kaip matome iš (257), kai u=—u", galioja 235 vadinasi, pirmojo paviršiaus meridianų projekcijos į = ašį yra dides- nės už antrojo …
Excerpt
< $ 23] Pastovaus kreivumo paviršiai 267 Ant bet kurio pastovaus kreivumo paviršiaus sudarysime pu- siau geodezinę koordinačių sistemą (žr. $ 20) šiuo būdu. Per pavir- . šiaus tašką A vedame bet kurią geodezinę kreivę C ir ją laikome v kreive; išvedame …