Excerpt
114 Kreivių teorija K: | [M a. (205) diferencialinių lygčių bet kurioje kolonoje stovinčios lygtys „yra nepriklausomos nuo kitose kolonose stovinčių lygčių. Be to, atskirų kolonų diferencialinės lygtys yra to paties tipo, vadinasi, iš- sprendę vienos …
Excerpt
my $ 17] Kreivių natūralinės lygtys 115 kur Tą yra pastovus integravimo vektorius. Nesunku patikrinti, kad surastos (210) kreivės s, 4 ir x yra lanko ilgis, kreivis ir posūkis, Tokiu būdu, mūsų tvirtinimas, kad kreivės natūralinės. lygtys charak- …
Excerpt
116 2 Kreivių teorija [I d. arba į i T,—LV — E r -- GS į (214) u arba 2, prilyginti konstantai, duoda sferos tiesialinijines sudaromą- sias (menamas). (211) lygčių antrąją padauginę pirmą kartą iš i, antrą kartą iš — i ir sudėję su pirmąja, gauname: LS 6 …
Excerpt
s 17 Kreivių natūralinės lygtys 117 Rikati diferencialinę lygtį bendruoju atveju galime suintegruoti, jeigu žinome jos vieną atskirą sprendinį. Atveju, kai k ir x yra pasto- vūs arba kai santykis Ž yra pastovus, (215) lygtį galima integruoti …
Excerpt
118 Kreivių teorija [I d. Pažymėję + kampą, kurį T sudaro su x ašimi, turime: t=icosą--jsiną, v= —žsinę 4-jcosą. Įstačius šias T ir v reikšmes i (219) lygtis, abi jos virsta viena lygtimi ir kadangi k duotas (218) lygtimi kaip s funkcija, tai suintegravę …
Excerpt
„£ 17] 2 Kreivių natūralinės lygtys 3 „119 Paprastumo dėlei priėmėme s,=0 ir 9;=0; dabar iš (221) lygčių randame: s . s + s L BR Kai = | eos 5 ės= rosa a »= [sin ia Tą COS 2 d 6 čia taip pat priėmėme x4=74=0. Tokiu būdu, eliminavę s, gau- name: x*-- yž— …
Excerpt
120 Kreivių teorija 3 [I d. Tokiu būdu, 5 9 do a 1 +sin IT E E +-X05 [ 0 cosž cos $ 1 9 y= Į sevirkoums | AS r Priėmę x4,=74=0 ir eliminavę ų, gau- name: ž y=5(+“ + *), o tai yra grandininės kreivės lygtis (56 brėž.). Sraigto linijos ant sukimosi cilind- …
Excerpt
S ET] 7) Kreivių natūralinės lygtys 121 Išdiferencijavę šią lygti pagal s, laikydami Kk pastoviu vektorium ir pritaikę pirmąją Sere— Erene formulę, gauname: š kv=0, (222) iš kur matome, kad kreivės pagrindinė normalė yra statmena vek- toriui Je; todėl …
Excerpt
122 “||| Kreivių teorija “ M d. Išdiferencijavę šią lygtį pagal s ir pritaikę antrąją Sere— Frene for- mulę, turime: ar ds =(1 2 =) Kadangi kreivės C liečiamasis vektorius = yra statmenas abiejų krei- vių bendrai pagrindinei normalei, tai dT 1 — 15 ds 0 …
Excerpt
s 171 ; Uždaviniai 123 galioia (227) lygtis, ant jos pagrindinių normalių atidėjus pastovias atkarpas a, sudaryti kreivę C ir gauti, kad kreivių C ir C pagrindi- nės normalės sutampa. 3 Atveju, kai 7 ir £ yra pastovūs, turime paprastą sraigto liniją. Šiuo …
Excerpt
124 ks Kreivių teorija [I d. 131. Rasti kreivės, duotos natūraline lygtimi Asi r? +-a*=a?e “, kur a — konstanta, parametrines lygtis. s [Prilyginus + “ —sect, parametrinės lygtys yra x=acost, y=alats(-7-+-5-)=asins; gauta kreivė yra traktrisė.] s 132. …
Excerpt
$ 17] Uždaviniai * 125 136. Duotos natūralinės lygtys kreivių s8 ss Ša I 1 41 Si grandininės kreivės, 2. r=as— logaritminės spiralės, 3. 724-s*= 16a* — cikloidės, 4. r*=2as— apskritimo evolventos, 2 5. r*4-a*=aže “ —traktrisės, kur 2 yra konstanta. Rasti …
Excerpt
126 Kreivių teorija | (Tad. yra šlaito linija; rasti vektorių, su kuriuo kreivės liečiamosios sudaro pastovų kampą. [4=x (žr. 64 užd.); kreivės liečiamosios lygiagretės xz plokštumos pusiau- kampinei.] 142, Rasti šlaito linijas ant cilindro, kurio …
Excerpt
II DALIS PAVIRŠIŲ TEORIJA $ 1. Paviršių analizinis išreiškimas Dekarto koordinačių sistemoje paviršių paprastai išreiškiame lyg- timi . . z=fj(x,y), (1) kur / yra vienareikšmė ir tolydinė kintamųjų x, y funkcija. Diferen- cialinėje geometrijoje iš …
Excerpt
128 “Paviršių teorija [II d. Jeigu F. (*9; Yo> +20) =0, 0 bent viena iš F. (x9; Yos 20), F, (Xo; Yos Zo) nelygi nuliui, tai paviršių, duotą (2) lygtimi, galima išreikšti pavi- dalu x=f (y, 2) arba y=/(x, 2). (3) Atveju, kai taške (X4, Yo> Zo) Visos …
Excerpt
$ 11 J Paviršių analizinis išreiškimas 129 Vektorių 7 išdėstę pagal koordinatinius vektorius ė, j, Je, turime: 3 T =ix1- jy + lez. (5) „ Kadangi pagal (4) radiusas-vektorius 7 yra 4 ir v funkcija, tai aišku, kad ir jo koordinatės x, y, = yra taip pat 4 ir …
Excerpt
130 Paviršių teorija [II d. ir įstačius jas į (1) lygties dešiniąją pusę, gauname: z=j (+ (u, 1), V (u, 2)) =z (u; 2). Vadinasi, paviršių, duotą (1) lygtimi, išreiškėme (6) pavidalo lygtimi. Šiuo atveju sakome, kad paviršių parametrizavome. Jeigu …
Excerpt
| Ss 1 Paviršių analizinis išreiškimas 131 4 ; sėje nuo pagrindinės tiesės ir neigiamus, jeigu jos yra kitoje pusėje nuo pagrindinės tiesės. 4 absoliutinis didumas yra lygus atkarpos il- giui, kurią atkerta pagrindinė tiesė ir tiesė, kuriai priskyrėme 4, …
Excerpt
132 Paviršių teorija [IT d. 2 * šeimą, 7 šeimą, sudarome iš apskritimų, kuriuos iš sferos išpiauna plokštumos, statmenos pasirinktam diametrui. Aišku, kad diametro susikirtimo su sfera taškai yra tinklo ypatingieji taškai, nes per juos eina visos 4 šeimos …
Excerpt
RR" S I] Uždaviniai 133 2. Įrodyti, kad paviršius, duotas lygtimi uv + I į v-u „uv—l RS u+700V— g BLS u+vu ? yra vienašakis hiperboloidas, o, parametrinės kreivės yra jo tiesialinijinės suda- romosios. 3. Įrodyti, kad paviršius, duotas lygtimis u+0 u—v uv …
Excerpt
Či „134 Paviršių teorija [II d. 8 2. Liečiamoji plokštuma ir normalė 3 Tegu ant paviršiaus, duoto (4) lygtimi, duota kreivė C, kurią ga-“ lima parametrizuoti, t. y. kiekvienam jos taškui galima priskirti para- metro £ tam tikrą reikšmę, kuri nustato taško …
Excerpt
$ 2] Liečiamoji plokštuma ir normalė 135: jei vektoriai 7, ir 7, tikrai egzistuoja ir yra nekolineariniai, vadinasi, nė vienas iš jų nėra nulinis vektorius. Jeigu šios sąlygos kuriame nors taške nėra patenkintos, tai taškas yra arba paviršiaus ypatingasis …
Excerpt
136. "Paviršių teorija [II d. Jeigu paviršius duotas (1) lygtimi, tai, pažymėję 8 Aa 05“ BO Iš IO op D iš (14c) lygties gauname liečiamosios plokštumos lygtį ž—==p(G—+)+19(65—7). (144) (14c) lygtį galima gauti ir tiesiogiai. Jeigu kreivė +=x(), y=y(), 2=2 …
Excerpt
s 2] Uždaviniai 137 Jeigu bent viena iš F(x, y, z) antros eilės išvestinių nagrinėjamame taške nelygi nuliui, tai gauta (16) lygtis reiškia antros eilės kūgį. Va- dinasi, tokiame paviršiaus ypatingame taške per jį einančių įvairių kreivių liečiamosios …
Excerpt
138 Paviršių teorija [II d. / [Liečiamoji plokštuma: £sinu x— k cosu y 4-02— kuv= 0. j x—vcosų | y—vUsinu | z—-ku Normalės lystys: Asirų | —ktou 0 11. Rasti paviršiaus xyZ7— liečiamosios plokštumos lygtį bet kuriame paviršiaus taške; rasti ant paviršiaus …
Excerpt
$ 3]. Pirmoji pagrindinė kvadratinė forma 139 a S 3. Pirmoji pagrindinė kvadratinė forma Tegu ant paviršiaus (4) duota kreivė (9) lygtimis, kurias galime iš- reikšti (12) vektorine parametrine lygtimi. Iš I dalies (49) lygties tu- rime, kad šios kreivės …
Excerpt
140 Paviršių teorija ' [I d. |] Iš (19) turime: EG-— F*=7T37;- (TT )*. Bet pagal Langražo (Lagrange) tapatybę (T, XT) = TIT; — (r.)*, (23) taigi EG — F*=(r,XT.)?; tuo mūsų tvirtinimas įrodytas. (23) tapatybę galima įrodyti ir tiesiogiai. Bet kokiems dviem …
Excerpt
s 3] Pirmoji pagrindinė kvadratinė forma 141 "į ds = VEu' ()ž1-2Fu' (1) x (+) 1 Go" (d)? dr. (25) Suintegravę nuo 7, iki r,, gauname kreivės lanko ilgi: s= J V Eu ()ž + 2F4 ()v' ()-- Gv' (Ąžde. 1 Čia pointegraliniame reiškinyje E, F, G yra : funkcijos, …
Excerpt
142 Paviršių teorija [II d. Šios lygties kairė pusė yra dvitiėsinė forma, kuri dažnai vadinama pirmosios kvadratinės formos poliarinė forma. Taigi dvi kryptys ant pa- viršiaus yra statmenos, jei joms atitinkama pirmosios kvadratinės formos poliarinė forma …
Excerpt
r PrHNEPA M "VV $ 3] 3 Pirmoji pagrindinė kvadratinė forma 143 Panašiai galima sudaryti ant paviršiaus ir izogonalinį tinklą, t. y. tokį tinklą, kad bet kurios tinklo dvi kreivės kirstųsi pastoviu kampu. Šiuo atveju sprendimas susiveda taip pat į …