Excerpt
184 4 "Paviršių teorija || 25 [II d. Kadangi asimptotinėm linijom II=0, tai iš (100) lygties turime; Vadinasi, S Ši formulė, rišanti asimptotinių linijų sukimąsi su paviršiaus kreivumu, vadinama Beltramio (Beltrumi) ir Eneperio (Enneper) formule. Asimp- …
Excerpt
$ 1] Vienparametrinės paviršių šeimos 185 H : 75. Rasti minimalinį paviršių P*, lygiagretų paviršiui P, kurio = 7 00nst H [r (u, 0)=7T (u, V) + saiC? 2). 76. Įrodyti, kad dviejų lygiagrečių paviršių Gauso ir vidutiniai kreivumai surišti lygtimis H*-4K …
Excerpt
186 Paviršių teorija [II d. Tačiau (105) paviršių susikirtimo kreivė, Az artėjant į nulį, gali ir neturėti ribinės kreivės, o (106) lygtis gali reikšti konkrečią kreivę. Kreivę, duotą (106) lygtimis, vadiname paviršiaus, atitinkančio para- metro a …
Excerpt
sales Vienparametrinės paviršių šeimos 187 o diskriminantinio paviršiaus 0a (Xos Jos Zos Lo) 3 Fa (*0 Yo Z0 80) T- Fi (X Yos Z0> Go) = a (Xa> Vos Zos 40) r (X Vos Zos 40) + Fa(Xos Vos Z0> Go) - Žv 2 Oa (Xų, » 20 Go) F, (o Yo Zoo 4) -- Fi (X; Vo 05 Go) 2 …
Excerpt
188 Paviršių teorija [II d. Šeimos paviršiai gali turėti ne vieną arba kelis ypatinguosius taš- kus, bet visą kreivę ypatingųjų taškų. Tuomet visos šeimos ypatin- gieji taškai gali sudaryti ne (109) lygtimi - duotą kreivę, bet paviršių, kurį galima …
Excerpt
$ 11] Vienparametrinės paviršių šeimos „189 Kadangi A ir A gali artėti į nulį nepriklausomai, tai, kai Ž— 0 ir +—-0, šios lygtys virsta Ė F(a)=0, F.(a)=0, F,„(a)=0. (111) Tokiu būdu, ribiniai taškai, jei jie egzistuoja, turi patenkinti (111) lyg- tis. …
Excerpt
190 Paviršių teorija [II d. sudarytų su koordinačių ašimis, kosinusai yra proporcingi koeficien- tams prie dx, dy, dz, kuriuos nustatys lygtys, gaunamos, diferencijuo- jant (106) lygtis, kuriose jau a laikoma x, y, z funkcija. Turime: F,dx4- F,dy4 F.dz 4 …
Excerpt
$ 11] Vienparametrinės paviršių šeimos 191 spindulio sferų šeimos gaubiamasis paviršius vadinamas kanalinių pa- viršiumi. Kanalinius paviršius tyrinėjo Fosas (Voss). (114) lygčių paskutiniosios dvi duoda (113) kreivės taško kreivumo ašį, kuri su sfera …
Excerpt
- 192 Paviršių teorija B Li) 7'(a) turi būti statmenas per charakteristiką einančių (116), (117) plokštumų normaliniams vektoriams AN ir N“, t, y. WD, "Nr 0. Išdiferencijavę šių lygčių pirmąją pagal a ir atsižvelgę į antrą, gau- name: Nr' =0. Nr'=0, …
Excerpt
$ 11] Vienparametrinės paviršių šeimos 193 lygiagrečiai vienai plokštumai. Bet kuri šeimos plokštuma, būdama statmena vektoriui M, yra taip pat statmena šiai plokštumai. Tokiu bū- du, šeimos plokštumų susikirtimo tiesės yra lygiagretės, todėl ir cha- …
Excerpt
194 + Paviršių teorija [II d. Šiuos taškus, jeigu jie tikrai egzistuoja, vadiname paviršiaus a, b cha- rakteringaisiais taškais. Eliminavę iš (125) lygčių parametrus a, b, gau- sime lygtį D(x, y, z)=0, (126) kuri reiškia paviršių, vadinamą dviparametrinės …
Excerpt
1 $ 11] Uždaviniai | . 195 kur a, 5 yra parametrai, 7 konstanta. Išdiferencijavę šią lygtį pagal a ir b, gauname: „—— „y — 0 Vri—ai— 83 2,2 Vri-ai—p i Eliminavę iš šių lygčių a, b, gauname; x L yžzi= y Tokiu būdu, duotos dviparametrinės plokštumų šeimos …
Excerpt
196 Paviršių teorija [II d. ir T=(vT)v +(67)B + VivT*1-(B7T)? (Gvcosę+-Bsinų) yra ciklidės vektorinė parametrinė lygtis, kur parametrai yra s ir +.] 83. Rasti pereitame uždavinyje nagrinėjamos sferų šeimos grįžimo briauną. [Grįžimo briauną nustato lygtys …
Excerpt
$ 15] į Kreivių šeimos gaubiamoji : 97 3. Kreivių šeima duota lygtimi F(x, y, 0)=F, (x, y)— a=0. Dvi šios šeimos kreivės neturi bendrų taškų, todėl negali turėti ir ribinių taškų. Charakteringuosius taškus reikėtų ieškoti iš (176) lyg- 'čių. Bet šiuo …
Excerpt
98 až Kreiviį teorija [I d. Reikšmės x4; y4; a4 turi patenkinti abi (176) lygtis, todėl pirmoji iš jų duoda F (x05 Vos ap) =0, t.y. šeimos kreivė, atitinkanti parametro a reikšmę a4, irgi eina per tašką (x4, Yo). Surasime taške (44, y4) šeimos kreives 24 …
Excerpt
$ 15] Kreivių šeimos gaubiamoji 99 Šiuo atveju šeimos kreivės a, taškas (x4, va) yra ypatingasis taškas. Vis tik galima įrodyti, kad šeimos kreivių ypatingieji taškai priklauso dis- kriminantinei kreivei. Jeigu taškas (x4, yg) yra šeimos kiekvienos …
Excerpt
100 Kretvių teorija : 3 [Eid, Norint surasti šeimos ŠKreivę, kuri eitų per duotą tašką Go Y0)> reikia spręsti lygtį Fl(xos Yo 3) —O (183) a atžvilgiu. Ši lygtis gali turėti kelias šaknis. Vadinasi, randame ke- lias šeimos kreives, einančias per tą paų …
Excerpt
Šio ini iais is $ 15] "Uždaviniai 108 110. Rasti gaubiamąją, priėmus; kad 109 uždavinyje duota kreivė yra elipsė x=aco0st, y=bsint. . [-- acosši, y=bsinš: arba, eliminavus t; 2 (5) +()-1 11!. Rasti pastovaus ploto S elipsių, kurių simetrijos ašys yra tos …
Excerpt
— 102 Kreivių teorija S (Id, Jos tikrosios šaknys yra IsV31V2V53 , 4+V3-V2V3 2 5 t . t, =0, t1— 3 Diskriminantinė kreivė susideda iš trijų tiesių iš 24 3a(t;— 13) B 3a (t; — 13) x—y=U, X-—/ 115 :] 1174 . Pirmoji tiesė yra mazgų geometrinė vieta ir nėra …
Excerpt
$ 161 . ' Kreivių evoliutos ir evolventos 103 (184) kreivės taške x9= x (20), Yo—Y (to) išvestos normalės lietimosi tašką su gaubiamąja gausime iš (187) lygčių, dešinėje pusėje įstatę /4 vietoje r. Palyginę dabar gautas X (t) ir y(r)) reikšmes su a ir b …
Excerpt
104 Kreivių teorija š [I d. Pačmę (189) lygties abiejų pusių absoliutinius didumus ir atsi- žvelgę, kad v yra vienetinis vektorius, turime; dr | | dr ds || de arba 4 |ĮdT|=| dr. (190) Pažymėję evoliutos lanko diferencialą do, šią lygų galime užrašyti …
Excerpt
$ 16] Kreivių evoliutos ir evolventos 105 Teigu kreivė turi ištiesinimo tašką, tai jame A=-—0, Ly. 7-0, ir ant evoliutos mes neturime atitinkamo taško. Kreivės taškui artė- jant prie ištiesinimo taško, evoliutos taškas tolsta į begalybę (54 brėž.). Šiuo …
Excerpt
106 ; Kreivių teorija ( d. Kadangi T 7-0, nes kreivės C taškas nėra ypatingas, tai 114'=0 arba suintegravus UC S Įstatę šią argumento s funkciją 4 į (193) lygtį, gauname evolventos lygtį T=T-+-(c—S)T. (194) Į evolventos lygtį įeina laisva konstanta c; …
Excerpt
$ 16] Kreivių evoliutos ir evolventos 107 nes AB'=c,—s, AB|= (į — 535 o iš šių ir (195) lygčių gauname (196). Išnagrinėjome plokščių kreivių evoliutas ir evolventas. Panašiai nag- rinėsime ir erdvines kreivės. Jeigu plokščių kreivių, glaustiniv ap- …
Excerpt
108 , Kreivių teorija [I d. Šiuo atveju evoliutos lygtį galime parašyti pavidalu P=T0Lu (A (9, kur 4 yra atstumas nuo kreivės taško, einant normale iki evoliutos. Evoliutos liečiamasis vektorius > = turi būti kolinearinis normalės vektoriui A, todėl dT 5 …
Excerpt
baadiknisikisiais ilma a "4 $ 16] Uždaviniai 109 Jeigu kreivė yra plokščia, tai -L=0, ir iš (199) lygties gauname: p=c. Tokiu būdu, ir plokščia kreivė turi visą šeimą evoliutų, bet tik viena iš jų, kai c—0, yra plokščios kreivės plokštumoje, o visos kitos …
Excerpt
110 S Kreivių teorija [T d, 121. Įrodyti, kad ciklcidės evoliuta yra jai kongruentinė cikloidė. [Jei cikloidės parametrinės lygtys yra x=a(i—sin?), y=a(l—cost), tai evoliutos parametrinės lygtys yra x=a(t+sint), y= —a(l —cos£), iš kurių, padarę lygiagretį …
Excerpt
$ 17] Kreivių natūralinės lygtys || | 111 126. Rasti ap skritimo, duoto lygtimi : s Žas x=acosc7, y=asinz, evolventas. Š : $ AAS s [+= a cos 5 +(s—c)sin ara aalus (s—c) cos = .] 127. Rasti parabolės x2=— 2py evolventas. i Alo 2 2 r EAi i E-> +72> …
Excerpt
112 Kreivių teorija HT d. Diferencialinėje geometrijoje duotai kreivės lygčiai taip pat suran- dame invariantus. Pagrindiniai tokie invariantai yra kreivės lanko ilgis, jos kreivis ir posūkis. Iš tiesų, kreivės lanko ilgis yra įbrėžtos į kreivę laužtinės …
Excerpt
$ 17] Kreivių natūralinės lygtys š S) Jei kreivė duota natūralinėmis lygtimis, t.y. jei žinoma k ir x kaip s funkcijos, tai galima formaliai sudaryti vektorinių diferenciali- nių lygčių sistemą EG, V —k() TT x()B, (204) A os kur T, V, 8 yra ieškomi kaip s …