Excerpt
154 Paviršių teorija [II d. duota kryptimi išvestas plokščias piūvis yra apskritimas AC'D“, jo kreivumo radiusas yra apskritimo radiusas AO'. Aišku, kad AO" = AO cos (O' 40). Menije dėsnis leidžia, žinant normalinio piūvio kreivumo radiusą, surasti ta …
Excerpt
s 5] : Kreivių ant paviršių kreivumai 155 arba Vadinasi, ant sferos (50) sąlygos yra identiškai patenkintos. Tai gali- ma spręsti ir iš to, kad ant sferos per bet kurį tašką išvesti norma- liniai piūviai yra sferos didieji apskritimai ir todėl visų …
Excerpt
156 Paviršių teorija [II d. Be to, dar iš (29) lygties turime: ž W sin 0 — ———. V EG MS EEA E giė (53) sin e Tokiu būdu, Dabar (52) lygtį galime Ša pavidalu 1 L sinž(e—8 sin(e—8)sin8 ", N sinž8 ART L — ——) Šia lygtimi normalinio piūvio kreivumo radiusas R …
Excerpt
wyppyPP "7 ME 551 Kreivių ant paviršių kreivumai 157 Atveju, kai „LN — Mž …
Excerpt
158 Paviršių teorija [II d. Bet vektorius m yra vienetinis, tai i nn,=0, nn,=0, vadinasi, vektoriai m, ir m,, būdami statmeni vektoriui 2, yra liečia- moje. plokštumoje. Kadangi vektoriai „ir T, nėra kolineariniai ir yra taip pat liečiamoje plokštumoje, …
Excerpt
. $ 5] Uždaviniai 159 . Susumavę gautus rezultatus, gauname: tiriant ant paviršiaus duo- tos kreivės kuriame nors taške kreivumą, užtenka rasti kreivumą plokščio piūvio; pagal Menije dėsnį plokščio piūvio kreivumą išreiš- kiame normalinio piūvio kreiyumu, …
Excerpt
160 Paviršių teorija [II d. 33. Rasti ant paviršiaus E a umbilinius taškus. ž aš [-—* a, y= a, Z= £. 24 34. Rasti ant elipsoido —z=l (a> 6> 0 P EI [+= 12 = y=0, z=+c ale i, 35. Rasti ant dvišakio hiperboloido "r A A A 0> 0) umbilinius taškus. ai — B / ar …
Excerpt
$ 6] Pagrindinių normalinių piūvių kreivumai 161 (64) lygti parašome pavidalu k=k,—sinž8 (k, — k,). Dešinėje pusėje antrasis narys yra teigiamas, todėl 4 gauname, iš A, atėmę teigiamą dydį, vadinasi, bet kokiam 8 k < ki. Parašę (64) lygtį pavidalu k=k, | …
Excerpt
162 Paviršių teorija [II d. kiek jų sandauga ir suma. Iš (68) lygties randame KAT IN M LŽ RIMA M AEG A MS IEN PM GE Ailmleai Eo Bi K (69) K vadinama paviršiaus Gauso kreivumu, arba paviršiaus pilnu kreivu- mu, arba tiesiog paviršiaus kreivumu, H — …
Excerpt
$ 7] i Kreivumo linijos 163 43. Skirtumas H?— K vadinamas Eulerio skirtumu. Įrodyti, kad umbiliniuose taškuose ir tik juose Eulerio skirtumas lygus nuliui. 44. Nuo kiekvieno paviršiaus P taško ant normalių 2 atidėjus to pačio 11- gio atkarpas A, jų galai …
Excerpt
164 : Paviršių teorija [II d. mei nustato pagrindines kryptis du: dv. Sutvarkę (67) lygtis pagal Ą, turime: LduA- Mdv—k(Edu + Fdv)=0, Madu + Ndo —k(Fdu + Gdo) =0. (1) Eliminavę k, gauname: LduĄ-Mdv9 Edu Fdo — i (72) Mdu5- Ndo Fdu4 Gdv 2 arba (LF — ME) du? …
Excerpt
WP PPHTHPPVHSP MAP EVER s 7 “ Kreivumo linijos 165 turime kreivę u=u(t), v= (1). Kiekvienam šios kreivės taške išvedame paviršiui normalę m; tuomet kreivės radiusas-vektorius 7“ ir jos taškuose išvestos paviršiui norma- lės vektoriai m yra t funkcijos. …
Excerpt
166 Paviršių teorija [II d. Parašome (77) lygtį išvystytu pavidalu T,du-+- T,dv > +- R(n,du> - n,dv) =0. Padauginę iš eilės iš 7, ir 7, ir priėmę dėmesin (19) ir (44) lygtis, turime: Edu; Fdv— R(Ldu 4 Mdv)=0, Fdu4+-Gdv— R(Mdu4+ Ndv)=0. Gautos lygtys, jose …
Excerpt
sn . Kreivumo linijos 167 mąjį paviršių ir dėl to lygiagretė yra Kiciguiia linija. Tuo mūsų tvirtinimas yra įrodytas. Bet kuriame sukimosi paviršiaus taške A vieno pagrindinio nor- malinio piūvio kreivumo centras sutampa su meridiano taško A krei- vumo …
Excerpt
168 Paviršių teorija [II d. viršiaus yra drauge ir kreivumo linijų tinklas. Dabar, pasirėmę Rod- rigo formule, įrodysime; kad sfera ir plokštuma yra vieninteliai pa- viršiai, sudaryti iš umbilinių taškų. Jeigu paviršius sudarytas vien iš umbilinių raškų, …
Excerpt
s Kreivumo linijos 169 eina po 3 paviršius. Kas du paviršiai susikerta pagal kreivę, kurią gauname laikydami du parametrus pastoviais, o trečią kintamu; taigi per kiekvieną tašką eina po 3 kreives. (80) lygtis išreiškia triparamet- rinę paviršių sistemą. …
Excerpt
* 170 Paviršių teorija [II d. mo linijos. Tačiau problema įsprausti paviršių į triortogonalinę pavir- šių sistemą yra ekvivalenti kreivumo linijų diferencialinės lygties inte- gravimui. . Kartais iš kitų geometrinių nagrinėjimų yra žinoma, kad duotas …
Excerpt
. $ 81 Asimptotinės linijos 171 51. Rasti hiperbolinio paraboloido az=xy kreivumo linijas. [ Susikirimo hiperbolinio paraboloido su cilindrais (++1 BpB)(y+ V ai )-a ir (++V BT3)=a(y+ V EEZŲ kreivės. 52. Rasti hiperbolinio paraboloido, duoto parametrinėmis …
Excerpt
* 172' Paviršių teorija [II d. Ant paviršiaus kreivę, kurios bet kurio taško liečiamosios kryptis su- tampa su to taško „asimptotine kryptimi, vadiname asimprotine linija. (83) lygtis yra diferencialinė lygtis; jos bendrasis sprendinys duoda visas …
Excerpt
$ 8] Asimptotinės linijos 173 paviršiaus paimta kreivė yra tiesė, tai 7,,= 0, ir todėl L = 0; vadina- si, tiesė yra asimptotinė linija. JA Duosime šio dėsnio antrą įrodymą. Bet kuriam plokščiam piūviui kryptimi du:dv pagal (47) turime: 058 B cos9= Ldu* + …
Excerpt
174 : Paviršių teorija | II -d.] Priėmę dėmesin, kad šiose lygtyse po radikalu esantis reiškinys yra teigiamas ir kad L, M, N yra u, v funkcijos, turime dvi diferenciali- nes lygtis tipo 2 AC AA (88) Šių lygčių bendrieji sprendiniai duoda dvi asimptotinių …
Excerpt
$ 8] Uždaviniai 175 iš neigiamo kreivumo taškų, eina po dvi asimptotines linijas; panašiai teigiamo kreivumo taške neegzistuoja asimptotinių linijų. Per nulinio kreivumo tašką, jei jo aplinka susideda vien iš nulinio kreivumo taš- kų, eina po vieną …
Excerpt
176 Paviršių teorija [II d. 64. Įrodyti, kad paviršius yra minimalinis, t. y. kurio H=Ū, tada ir tiktai tada, kai asimptorinės linijos yra statmenos. 65. Įrodyti, kad, paviršių projektyviai transformuojant, asimptožinės lini- jos pereina į asimptotines …
Excerpt
s 9 Sujungtiniai tinklai 177 Paviršiaus tinklas, kurio kiekviename taške kreivių liečiamųjų kryp- tys yra sujungtinės, vadinamas sujungtiniu tinklu. Sujungtinį tinklą ga- lima sudaryti tokiu būdu. Paviršiuje išvedame vienparametrinę kreivių šeimą. Tegu …
Excerpt
178 Paviršių teorija [II d. Ši sąlyga yra patenkinta, jeigu paviršius duotas lygtimi T=T,(U) + r; (0), (92) nes T.„— 0. Paviršiai (92) tipo. vadinami rransliaciniais paviršiais, nes jie gali būti gauti, lygiagrečiai judant kreivei 7.= 7, (4) arba kreivei …
Excerpt
$ 10] Trečioji kvadratinė forma 179 72. Ant helikoido xX=vcosų, y=vsinu, z=4u rasti kreivių šeimą, kuri su kreivių šeima 4-4 v= const sudarytų sujungtinį tinklą. …
Excerpt
180 Paviršių teorija [II d. prasmės sistemą, kaip ir sferos vektoriai 2, M, M. Šiuo atveju sa- koma, kad paviršius ir sfera vienodai orientuoti. Antru atveju, jei vektoriai 7, 7,, 1 sudaro dešininę sistemą, tai 1, Nn, T — kairinę; šiuo atveju sakoma, kad …
Excerpt
. $ 10] Trečioji kvadratinė forma 181 todėl ploto S diferencialas yra dS= V EG-— Fždudo, dS= |T,XT,| du dv. Šią lygtį galima parašyti pavidalu dS= (T, du, T,dv, n). (96) Skirtumas su aukščiau stovinčia lygtimi yra tik tas, kad pagal (96) ant teigiamai …
Excerpt
182 Ėė Paviršių teorija HI d. K=0 atveju. Tik šiuo atveju ne tik 4S* bet ir S* visuomet lygus nuliui, nes šiuo atveju vienas iš vektorių m, ar m, yra lygus nuliui. Iš tiesų, jei K= 0, tai iš (99) seka ZS* = 0, bet S*ž=|n,Xn,|du do, taigi turi būti ir …
Excerpt
$ 10] Trečioji kvadratinė forma 183 Taigi iš tiesų gavome, kad trečiąją kvadratinę formą galima tiesiškai išreikšti per pirmąsias dvi. Pilnai išvysčius (100) lygtį, kadangi du ir dv yra nepriklausomi, tai koeficientai prie du?, du dv ir dv? turi būti …