Excerpt
214 > Paviršių teorija [II d. Pasiremiant derivacinėmis formulėmis, galima įrodyti, kad pirmoji ir antroji kvadratinės formos pilnai nustato paviršių, t. y. du pavir- šiai P ir P*, turintieji tas pačias pirmąsias dvi kvadratines formas, gali būti judėjimu …
Excerpt
$ 13] Derivacinės iormulės 215 Įstatę į šias lygtis vektorių 74; ir m; reikšmes, duotas (157) lygtimis, ir sutvarkę pagal 7;, 7'3, 72; šalys Ž =(Tž, Ss an d; ai AS dį LE S gr T Pas - LA dr; du! du! a duž 1 = (T air +15 di RAKS ap T Už gp jr duųž + (12 ar …
Excerpt
216 2 Paviršių teorija [II AE) antram, be to, vieną galima gauti iš kito kaip atspindį veidrodyje, nes iš paviršiaus normalės ženklo pakeitimo seka ir antrosios kvadra- tinės formos ženklo pakeitimas. S 14. Gauso teorema. Petersono — Kodacio formulės Du …
Excerpt
$ 14] Gauso teorema. Petersono — Kodacio formulės 217 koeficientais ir jų išvestinėmis. "Tai labai svarbi paviršių teorijos teore- ma, kuri dažnai vadinama Gauso ypatingoji teorema (theorema egre- gium). Į Gauso kreivumo formulę Ik“ Pubo—Pi, | LN— Mi 3 T …
Excerpt
218 Paviršių teorija [II d. Įstatę gautas reikšmes į kreivumo K lygtį, galutinai zauname: UA J | 0 Ta Dip 1 Ouž Oy 171121 | K=— AS El 83 "T fu 612 T Su £12 | p„U60 T: > Si 822 D15 812 822 | ; arba, išreiškus dydžiais E, F, G, 1 UA= (EG F33 F,- G, E F = 1 …
Excerpt
$ 14] Gauso teorema. Petersono — Kodacio formulės 219 ir Frobenijaus (Erobenius) — | 1 0 E,„—F, 0 Fy— Gy K-- ay. | BE -2r15 24 1 MA L 163 GG G kur . W=V EG-F*. Formulės (160)—(163), išreiškiančios paviršiaus kreivumą pirmosios kvadratinės formos …
Excerpt
220 1 Paviršių teorija [II d. arba i p (16) a — TaPia S du Iš šios lygties, imdami iš eilės +—1, 2, gauname dvi lygtis, kurios riša antrosios kvadratinės formos koeficientus ir jų išvestines su pir- mosios kvadratinės formos koeficientais ir jų …
Excerpt
„*6 15] Paviršių lenkimas ir jų vidaus geometrija 221 kreivių ilgiai nepasikeičia. Nepasikeis ir daugelis kitų paviršiaus savy- bių. Nagrinėjimas tokių paviršiaus savybių, kurios nesikeičia paviršių lenkiant, sudaro taip vadinamą paviršiaus vidaus …
Excerpt
222 į i Paviršių teorija [II d. Įrodysime atvirkščią dėsnį: jeigu du paviršiai yra izometriniai, tai, atitinkamai parinkus ant jų koordinatinius tinklus, jie turi tas pačias pirmąsias kvadratinės formas. Parinkus ant paviršiaus P, bet kokią kreivalinijinę …
Excerpt
$ 15] Paviršių lenkimas ir jų vidaus geometrija 223 šiaus P, taško koordinatės yra vl, 22, o naujoje už, už, tuomet turi būti vi=vl (ul, 2), 02 =vž(ul, ų2). 473), Įstatę šias v! ir 9? reikšmes į antrojo paviršiaus pirmąją kvadratinę formą“ : dsž = g, (0!, …
Excerpt
2294 Paviršių teorija [II d, rės rankos pirštinę jokiu būdu neužmausime ant dešinės. Bet šie paviršiai yra simetriniai, nes vienas yra kito atvaizdas veidrodyje. Iš viso galima įrodyti teoremą: jeigu paviršiai P, ir P, yra iz0metriniai 17 P, nėra …
Excerpt
$ 15] Paviršių lenkimas ir jų vidaus geometrija 225 kreivumas jau nepriklauso paviršiaus vidaus geometrijai. Paviršių len- kiant, kreivės kreivumas keičiasi. Kreivės ant paviršiaus kreivumą pa- pagal Menije dėsnį galima išreikšti normalinio piūvio …
Excerpt
— 226 Paviršių teorija [II d. masis paviršius yra išlenkiamas į bet kurį kitą išklojamąjį paviršių. Nulinio kreivumo paviršiai yra išlenkiami į plokštumą, dėl to ir va- dinami išklojamaisiais paviršiais. S 16. Vektoriai ant paviršių. Gradientas „ …
Excerpt
$ 16] “ Vektoriai ant paviršių. Gradientas 297 kreivę C, tai ir po lenkimo jis lies deformuotą paviršiaus P* kreivę C* ir jo ilgis liks nepasikeitęs. Tegu paviršiaus P kreivė C duota lygtimi uo, 4 — 2 (01 (177) Kreivės C taške A liečiamasis vektorius yra …
Excerpt
228 : Paviršių teorija [II d. Jeigu paviršiaus kiekviename taške duotas vektorius, kuris yra (o taško liečiamoje plokštumoje, tai sakome, kad yra duotas ant pavir- šiaus vektorinis laukas. Vektorinis laukas yra duotas, jeigu yra duota vektoriaus …
Excerpt
$ 16] Vektoriai ant paviršių. Gradientas 229 Tokiu būdu, mes suradome gradiento koordinates ir tuo įrodėme jo egzistenciją, tačiau dar negalime tvirtinti, kad surastas vektorius g su- daro vektorinį lauką. Pagal vektorinio lauko apibrėžimą jis nepriklau- …
Excerpt
230 Paviršių teorija [II d. Išreiškiame V (9, 1) pirmosios kvadratinės formos koeficientais. Tu- rime: 3 g=s 1, 1875 Dauginame abi puses iš vektoriaus g: Ve V=LG7)+8 (7). Pagal (182) lygį | | | . gTi=Vs YT5= 45. Todėl i e VO V=B 8-6 Vp Įstatę į šią lygtį …
Excerpt
s 17] Lygiagretus vektoriaus perkėlimas ant paviršiaus 231 Tegu turime ant paviršiaus kreivę Uu A (0 Uu) (187) ir kiekviename jos taške vektorių ant paviršiaus U (r) (71 brėž.). Vek- toriai U (r) sudaro ant paviršiaus išilgai kreivės vektorinį lauką. …
Excerpt
239 Paviršių teorija [II d. arba dU= (4UT 111, U* du?) T. + (U*p, 9 duPyn. Iš pilno diferencialo atmetę jo komponentę pagal paviršiaus normalę, gauname absoliutinį diferencialą; todėl DU=(4U*+TT, U* du“) T. Vektoriaus ant paviršiaus koeficientai prie 74, …
Excerpt
$ 17] Lygiagretus vektoriaus perkėlimas ant paviršiaus 233 Tegu ant kreivės turime du taškus A ir A, ir taške A vektorių ant paviršiaus U. Kreivės lanką 44, dalijame į m be galo mažų da- lių taškais A', A", A'"/,---. Anksčiau nurodytu būdu vektorių U 1y- …
Excerpt
p 2 9234 | Paviršių teorija Ž [II d. perkeltų vektorių. Užtenka įrodyti, kad, perkeliant lygiagrečiai ant paviršiaus du vektorius U ir V, nesikeičia jų skaliarinė sandauga. Iš tiesų, išdiferencijavę jų skaliarinę sandaugą, turime: d(UV)=4U-V + UdV. Bet …
Excerpt
$ 17] Lygiagretus vektoriaus perkėlimas ant paviršiaus 235 tiese OA, sudaro kampą 2, lygų kampui A,OA,. Išlenkiame trikampį OA,A, atgal ant kūgio. Kadangi lenkiant kampai nesikeičia, tai ir ant kūgio vektorius U su sudaromąja OA, sudaro kampą 2. Tokiu …
Excerpt
1 236 Paviršių teorija [II d. $ 18. Kreivės ant paviršiaus geodezinis kreivumas Paviršių lenkiant, kreivė ant paviršiaus deformuojasi ir todėl bet kuriame taške jos kreivumas keičiasi. Vadinasi, kreivės kreivumas nė- ra paviršiaus vidaus savybė. Šio …
Excerpt
$ 18] Kreivės ant paviršiaus geodezinis kreivumas 237 yra k. Pagal Menije teoremą normalinio piūvio kryptimi f kreivis yra kcosę, kur p yra kampas tarp V ir m. Kaip iš brėžinio matome, kreivės ant paviršiaus normalinis kreivis taip pat yra kcosąg. Taigi …
Excerpt
938 “| Paviršių teorija Ė [I a, Bet 2 dyl duž Ė - t-1= 115717 Z—-=T, Ti, (195) todėl ši T= Tu (491-27,5ūli? I 7,5 (21-72 1 Ti, arba T= T, UT) Tri. Istatę į šią lygti vietoje 7;; jų reikšmes iš (150) lygties, gauname; K-=Ti T, pina Ti, arba T T -a-8 -a-B …
Excerpt
$ 18] Kreivės ant paviršiaus geodezinis kreivumas 239 kur J yra proporcingumo daugiklis; aišku A2= Ę2. -- a g Priėmę mes tuo pačiu suteikiame geodeziniam kreiviui ženklą. Dabar (200) lygtį galima parašyti pavidalu Dt Iš kur gauname: AR Vietoj D įstatę jo …
Excerpt
9240 “| Paviršių teorija [II d. Kadangi ; ds= V gu (du!) )- 2gj5 du? du? Ą- gr (du?)? , tai „Au 1 E Ek V1+ 2857 (00) + g5,f (Už ž Todėl Vel (u2) 4:2 Ti + (075—-[)f (T = 2 2 f! (už (207) Iz -- 2215f (0) 18327 (u7)ž] ž Specialiu atveju, kai kreivė yra …
Excerpt
$ 19] Geodezinės kreivės 421 Jeigu koordinačių sistema ortogonalinė, tai (209) ir (211) lygtis išvys- tytoje formoje galime parašyti tokiu pavidalu: 1 0g 1 Og Bit Didi — o B Aaa (212) 2g11 V a duB pa 2855 Vei Out Senoje simbolikoje ortogonalinėje …
Excerpt
242 i Paviršių teorija [II d. E 1-2 yra lygus nuliui ir geodezinis kreivis yra lygus nuliui, vadinasi, taš- “kas yra geodezinis. Tokiu būdu, kad kreivė ant paviršiaus būtų geo- dezinė, būtina 11 pakankama, kad kiekviename taške jos pagrindinė nor- malė …
Excerpt
$ 19] Geodezinės kreivės 943 už kaip funkciją v!. Šiuo atveju iš (207) lygties, prilyginę k,=0, gau- name geodezinių kreivių diferencialinę lygtį pavidalo Tana Tela) + Al T (Gur) + + (275) — T, 0. (217) Iš diferencialinių lygčių teorijos ia kad duotoms …