Excerpt
1 -1 S 1 |=5 —8-14+5+2—-4=-1, 1 1 k Kišo Ara Sara Peso B aa is S S S Lino DV aDA | todėl x;= —2/(—1)=2, x4=—1/(—1)=1, x> = —1/(—1)=1. 2-osios ir 3-osios eilės deierminantus apibrėžėme spręsdami tiesinių lyg- čių sistemas. 4-osios eilės determinantus taip …
Excerpt
Aš a a as AA Jei aibės B visi elementai priklauso aibei A, tai aibė B vadinama aibės A | poaibiu ir rašoma Bc A. Pavyzdžiui, N < Z, (-1; 1; 33) xeA. (1) Aibių A ir B sankirta vadinama aibė AnB=(x |xeAir xeB!, (2) o tų aibių sąjunga — aibė AuB=(x|xe A arba …
Excerpt
"TRS " Jei A,=A;=...= A,=A, tai iš (6) formulės gauname aibės A Dekarto k-ąjį laipsnį: AK+=Ax Ax... X A. k aibių Dviejų aibių Dekarto sandaugos bet kuris poaibis vadinamas tų aibių bi- nariuoju sąryšiu. Jei pora (a; b) priklauso aibių Dekarto sandaugos …
Excerpt
$ 5. Kėliniai 2, Sprendžiant kai kuriuos uždavinius, reikia atsižvelgti į aibės elementų tarpusavio padėtį. Aptarsime tą klausimą išsamiau. Bet kuris aibės (a,: a;; ..; a,| elementų dėstinys Akis Ūko G (1) . vadinamas n elementų kėliniu. Aišku, jo …
Excerpt
p Jei a, bi, tai až as (4) Bi b (5) yra n—1 elemento kėliniai. Pagal indukcijos prielaidą galima sudaryti transpo- zicijų seką, kuria (4) kėlinys keičiamas (5). Todėl, pritaikę tą transpozicijų seką (2) kėliniui, gausime (3). Kai a,b, (2) kėlinyje …
Excerpt
* čia raide C pažymėti kėlinio elementai, esantys prieš k, o raide D — kėlini elementai, esantys po /. Po transpozicijos (k, /) gausime kėlinį KS mn Mia aaa i S ka D (9) Akivaizdu, kad transpoziciją (K, /) sudaro šitokia (8) kėlinio gretimų elemen- tų …
Excerpt
+ Jei atvaizdžio f: X Y vaizdas lygus aibei Y, tai tas atvaizdis vadinamas "surjekcija, arba aibės X atvaizdžiu į aibę Y. Pavyzdžiui, aibės X=(—1; O; 1) atvaizdis aibėje Y= (1; 2), apibrėžtas funkcija x -Ž— x2+1 (Vx e X), yra surjekcija, nes Im/= (1; 2)= …
Excerpt
+ * 1 teorema. Atvaizdžių kompozicijos dėsnis yra asociatyvus: iš prielaidos f: X-Y, g: Y-Z ir h: Z—V išplaukia lygybė (feg)oh=f-(geh). (3) Įrodymas. Pažymėkime k=fog, I=goh. Kadangi k: X—Z, I: Y—V, tai koh : X—V ir fol: X—V. Tada su bet kuriuo x < X yra …
Excerpt
1 išvada. Bijekcijai f: X-—> Y atvirkštinis atvaizdis f! yra bijekcija, kurios savybė (-9-1f. Įrodymas. Remiantis (4) formule, atvaizdis f! tenkina lygybes Jof=eyx, $70f=ė6y. (5) Vadinasi, f yra atvaizdžiui f-! atvirkštinis atvaizdis. Pagal 4 teoremą …
Excerpt
$ 7. Keifiniai Smulkiau panagrinėsime baigtinių aibių bijekcijas. n elementų aibės bijekcija į save vadinama n-ojo' laipsnio keitiniu (arba tos ai- bės keitiniu). Baigtinės aibės (a;; a> ; ...: a„) bijekciją į save (a;) g=a;, (i=1, 2, -.., n) galima …
Excerpt
Keitinių kompozicijos dėsnį vadinsime keitinių daugyba ir žymėsime daugybos ženklu. džiui, keitinių /=(1 1 4 4) (1 i Pavyzdžiui, keitinių /= Š Gnaava S | 7 > 3/ Sandau- 2509 Iš atvaizdžių kompozicijos dėsnio asociatyvumo išplaukia keitinių daugybos …
Excerpt
n-ojo laipsnio tapatųjį keitinį laikysime vienanariu ciklu ir žymėsime (k); čia' < — bet kuris iš skaičių 1, 2, --., r. 1 teorema. Ciklui s atvirkštinis keitinys yra ciklas iš ciklo s narių, surašytų priešinga tvarka. Įrodymas. Sakykime, s=(a;4, a;, ..., …
Excerpt
Sandauga f5-1=/(a,, ..., a;,, a,) turi mažiau kaip k slankiųjų simbolių, nes [l/5- [G sa kaili il EA E i [0] JS > L=llails 71 =Zas Todėl jai tinka indukcijos prielaida, kuria remiantis, keitinį fs-!1 galima iš- reikšti poromis nepriklausomų ciklų …
Excerpt
5 teorema. Keitinio lyginumas sutampa su jo dekremento lyginumu. Įrodymas. Tarkime, kad n-ojo laipsnio keitinys f yra 72 poromis nepri- klausomų ciklų sandauga. Tada keitinio f dekrementas 4 lygus 7 — m. Remian- tis 4 teoremos išvada, keitinį / galima …
Excerpt
1 (1) išraiškos narys a,54;, yra su minuso ženklu, nes keitinys ( 5 ) kurį sudaro to nario dauginamųjų indeksai, yra nelyginis. Iš nurodytųjų savybių gauname sąryšį, siejantį 2-osios ir 3-osios eilės determinantus su jų matricomis. Analogiškas sąryšis …
Excerpt
kydami j=4, k=3, gauname kėlinį 4, 3,2, 5, 1. Kadangi jo netvarkų skaičius lygus 44+24+14+- +0+0=7, tai tas kėlinys yra nelyginis. Todėl a;,4:5252,50;, yra determinanto narys su mi- nuso ženklu. Nurodysime svarbiausias n-osios eilės determinanto savybes. …
Excerpt
2 savybė. Sukeitę dvi deterininanio eilutės vietoinis, gauname determinantą, kuris skiriasi nuo to determinanto tik ženklu. Įrodymas. Sukeitę determinanto A Gp Ain | Aj Ain Ain |A |= =: «47Žeifa. B a au i ejo | | Aj; Ūjp Ajn | 2-1 | | An "Ono Ann čia bii= …
Excerpt
Įrodymas. Imkime (3) matricos determinantą |A| ir determinantą | aig V A Oa 4 ero la a ala dia keis Aa | |C|=| ca Cay …
Excerpt
skaičiaus c. Gausime determinantą (jį žymėkime |C|), kurio /-ąją eilutę suda- rys sumos ą;;+C9jk (k=1, 2, ..., n). Pritaikius determinantų 4 savybę, tą determinantą galima išreikšti suma dviejų determinantų, kurių pirmasis ly- gus |4|. o antrasis turi dvi …
Excerpt
=11 6 3 Pavyzdys. Vienas iš determinanto 2 1 1| 2-osios eilės minorų yra | - S | =3, 1024 Jį gauname išbraukę determinanto pirmąją eilutę ir antrąjį stulpelį. Jei minoro M elementai priklauso determinanto |4| eilutėms, kurių nu- meriai f, i> , ---, T, Ir …
Excerpt
ir papildomojo minoro M“ bet kurio nario ūm+15 kaj Ūnk (4) sandauga Ari Azk, - Amk, Ūm+is kai 0 Čak, (5) yra determinanto |4A| narys, nes (5) sandaugos dauginamųjų indeksai sudaro į p I 2 ra melas Tų ias, n-ojo laipsnio keitinį f/= i sis Gina MN atk 2 …
Excerpt
iš tokio pat skaičiaus determinanto (—1)*4 narių su savo ženklais. Iš čia išplaukia, kad lema yra teisinga, nes (— 1) *M'= A,r ir (— 1Ywd=(— 1)?4 x x |4|=|A|. Laplaso! teorema. Jei n-osios eilės determinante parinksime m …
Excerpt
Pažymėkime determinanto |4|= A Ap o... on (1) elemento a;; adjunktą 4;;. Tada iš pateiktojo teiginio gausime dvi formules: |4|= 2, 4445 …
Excerpt
Įrodymas. (1) determinanto ;-ąjį stulpelį (1 Gu Aa —5A 14]. (8) = 2. Determinanto skaičiavimas remiantis Laplaso teorema. Jei determinanto kelių eilučių ir kelių jo stulpelių sankirtos elementai yra nuliai, tai tokiam determinantui tikslinga taikyti …
Excerpt
144 363 eil. Gotai - Šiaurės Germanijos gentis. 366 eil. Harija - Estijos dalis. Ji skirstoma į atskiras sritis: į rytų - su Reveliu (Talinu), E ir vakarų - su Baltijos uostu. o 365 eil. Virija - sunku pasakyti, kurią sritį turi galvoje poetas, gal kurią …
Excerpt
145 Alanai - iranėnų tautos protėviai, padarę didelę ES nę, atsidūrė Galijoje, Sarmatijos gentis. 514 eil. Tritonas - jūros dievas, Neptūno sūnus. Nekas - turbūt baltų kilmės žodis, giminingas lietuvių "nekoti" arba "niokoti", 515. eil. Misenas - Eolo …
Excerpt
146 139 eil Crelonas - skitas. 161 eil. Getula - turima omenyje Sacharos dykuma prie Numidijos ir Mauretanijos. 174 eil. Titas - poetas duoda pavyzdį Flavijaus Vespa- siano Tito (39-81), kuris užkariavo ir sunaikino 70 metais Jeruzolimą. n Solimas - …
Excerpt
147 107 eil. Ajantas - graikų herojus, kovojęs prie Trojos. 107 eil. Abantas - Versilijaus "Eneidoje" Enėjo dratizas, tuskų vadas, užmuštas tą naktį kai degė Troja. p .194 eil Faras - sala ties Aleksandrija su garsiu jū- ros Švyturiu, architekto Sosnido …
Excerpt
EIESIDISAC E B. Kazlauskas. Laurencijus Bojeris ir jo poema. "Karolomachija" Aaaa aaa saaa asas aso see ss das ease os sa sa seses see e aa das aa aaa 4 E. Zaviša: Šviesiausiajam kuniseikščiui Vladislovui, galingiausiojo Lenkijos ir Svedijcs karaliaus …