Excerpt
as 23. AT Eilės pažeminimo atvejai. Tarpinis integralas 173 „Suprastinus kairėje pusėje išnyksta u, todėl pakeitimu = (8) gauname n— 1 eilės lygtį F(x 15 5-5 sa Tokiu pat būdu ieškotume sprendinių y = 0. (9) „Kairė šios lygties pusė patenkina tapatybę 1 …
Excerpt
174 IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys kur daugtaškis formulėje reiškia praleistą tiesinę mažesnės už k eilės y išvestinių funkciją. Formulę (12) patikriname matematinės indukcijos keliu, dar kartą ją diferencijuodami x-u ir gaudami analogišką …
Excerpt
$ 23. Eilės pažeminimo atvejai. Tarpinis integralas 175 Sujungę abu minėtus pakeitimus į vieną, turime, išreiškę X ir y: x=eš, y=ue5- Šiam pakeitimui atlikti skaičiuojame y išvestines, įstatydami m dyla d, ALpAS e = Tūx dę dx (ueš)= 7 2 4 dy > ė o ar e a …
Excerpt
176 IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys Eulerio teorema. Tegul n eilės diferencialinis reiškinys F(x, y, V", y", —--, Y0)) yra, kai …
Excerpt
178 IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys galiojančia, ir jis turi patenkinti sąlygą (17). Iš lygybės (17), istatę (A Ž S A dun į ją vietoj F reiškinį F-—- £ ir pertvarkę, gauname: EK BS 45) = LG (7-5 0 dk dx | Oy“ 2) dpsiNops dg | T ala 0 | dun - …
Excerpt
6 23. Eilės pažeminimo atvejai. Tarpinis integralas 179 Gavome sąlygą, analogišką lygybei (17), ir tuo pačiu įrodėme są- lygos (17) būtinumą. Antra vertus, jei F=F(x, y, y, --„yU*) tapatingai patenki- na sąlygą (27), tai iš jos turime lygybę 02F 0 (yC+132 …
Excerpt
180 IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys reiškinys F(x, y, VY, „> y?) patenkinąs sąlygą (17), tai r nepriklauso nuo y“? ir iš jo išskaičiuojame n—1 eilės reiškinį — 0F ži 7 £ ma [256 Du 1 (6 Mar Oa a se y. Kaip rodo formulė (25) (pakeitus joje n …
Excerpt
r $ 23. Eilės pažeminimo atvejai. Tarpinis integralas 181 iš kurio padauginta lygtis (15) patenkina sąlygą (17). Turėdami lygties (14) integruojamą daugiklį, galime rasti jos pirmąjį inte- gralą. Kai n=1, tokius daugiklius buvome nagrinėję $ 7. Padauginę …
Excerpt
182 IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys Įstatę į duotąją lygtį, gauname pirmos eilės diferencialinę lygtį 5ą*—3z4 SL=0, iš kurios, atskirdami Euikšinuoss dą 5 dz 5 5 > > MM p MI Pllė L az ir įstatę g=z', turime pirmuoju būdu gautą lygybę 5 3 …
Excerpt
SS, Eilės pažeminimo atvejai. Tarpinis integralas 183 Kai p3z0, suprastinę p, gauname Klero lygtį 42 (22 B D dy dy)? kurios bendrasis sprendinys yra 2= Cy— Ci. | (31) Surasime tos pat Klero lygties pavienį sprendinį — kreivių šeimos (31) gau- biamąją. Tam …
Excerpt
184 IX. Aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys Konstantai C rasti turime dvi lygtis, turinčias bendrą šaknį C=—2, iš kurios gau- name dar vieną Koši uždavinio sprendinį i ė 6 b) Istatę pradines sąlygas y(0)=2, y/(0)=—3 į bendrąjį sprendinį (33), turime …
Excerpt
188 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos Įrodėme, kad normalinė tiesinių diferencialinių lygčių sistema (1) nekeičia savo bendro pavidalo, tiesiškai pakeitus priklausomus kintamuosius, be to, tiesinių homogeninių lygčių sistema (2) …
Excerpt
iš 24 Tiesinių homogeninių lygčių sistemos 189 Kitoms homogeninės sistemos (7) savybėms gauti, parašome ją 1matricų pavidalu: dY į pažymėję | > | Pu (x) > Pin (X) gle ep i Vn Pa (3)> ae D. (X) 2 teorema. Jei yra duota m homogeninės sistemos (8) sprendinių …
Excerpt
7 190 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos (a, b), kada egzistuoja m tokių konstantų a;, ū> , ..., ū> , kurių bent viena nėra lygi nuliui, kad Yi (x) +-2:Y:() 1... 0,Y,„()=0 visame intervale (a, b), tai yra, kada tame intervale galioja n …
Excerpt
192 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos nanto bendrąjį k-tos kolonos elementų daugiklį p;; (x), gauname Vronskio determinantui $ 6 (1) pavidalo tiesinę homogeninę lygtį D'(*)= V bu (4)D()=D (x) V Pa (A). | k=1 k=1 Šios lygties …
Excerpt
. | $ 24. i Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos AD "o Šis sprendinys, kaip rodo lygybė (14), patenkina taške x=xo nu- lines pradines sąlygas, todėl jis yra trivialus (pagal 1 teoremos išvadą): a,Y, (x) — a;Y; (x) — --- + a (x) =0, taigi sprendiniai …
Excerpt
194 1A X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos 7 teorema. Kiekviena (7) pavidalo tiesinių homogeninių lygčių sistema turi visame intervale (a, b) fundamentalią sprendi- nių sistemą. 2 +: Fundamentali sprendinių sistema (16) yra vadinama …
Excerpt
$ 24. Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 195 Kai fundamentali sistema (16) yra normalinė, įstatę sąlygas (17) į lygčių sisiemą (19), turime C.=Yi0 C= Yao 5 G = ir iš (18) gauname paprastą ieškomojo sprendinio išraišką: VY =Y0Vii (4) -YaaVs (3) + +-Y …
Excerpt
$ 24. Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 197 Egzistuoja tokia normalinė tiesinių homogeninių diferencialinių lygčių sistema, kad funkcijų sistemos (24) sudaro jos fundamen- talią sprendinių sistemą. Pažymėję nežinomąsias funkcijas Yi, Y2, »+ +, Yni …
Excerpt
198 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos Ieškomąją normalinę lygčių sistemą gauname iš sistemos (28), padaliję abi lygčių puses iš determinanto, esančio kairėje kiekvie- nos lygties pusėje. Kaip rodo sąlyga, tas determinantas niekur in- …
Excerpt
V. PAULAUSKAS ir P. GOLOKVOSČIUS DIFERENCIALINĖS I XC TS “Redagavo V. STATULEVIčČIUS VALSTYBINĖ . POLITINĖS IR MOKSLINĖS LITERATŪROS LEIDYKLA VILNIUS * …
