Excerpt
Polinomas (0: e; 0; O; ...) žymimas raide x ir vadinamas kintamuoju. Remiantis polinomų daugybos taisykle, (06 02022) a — (054075 O a O (A EV) (8) k nulių Be to, iš (7) formulės išplaukia, kad cx“ 30 (0; 072707 4505 +. )(VeceR). k nulių Jei a, yra …
Excerpt
$ 33. Polinomų dalumas Viena svarbiausių komutatyviojo žiedo sąvokų yra dalumo sąvoka. Ap- tarsime ją polinomų žiede virš fiksuoto kūno, kurį toliau žymėsime raide K. Žiedo K [x] polinomas f(x) dalijasi iš to paties žiedo polinomo g (x), kai žiedui K [x] …
Excerpt
2 P Pastaba. Iš teoremos įrodymo išplaukia, kad (2) formulės yra teisingos ir paėmus polinomų virš integralumo srities su vienetu porą f(x) ir g (x)*0, kai g (x) — normuota- sis polinomas. Išvada. Žiedo K [x] polinomas f(x) dalijasi iš to žiedo polinomo g …
Excerpt
5 34. Polinomų didžiausias bendrasis daliklis Nurodysime dar vieną dalybos su liekana algoritmo pritaikymo atvejį. Žiedo K [x] polinomų f(x) ir g (x) bendruoju dalikliu vadinamas bet kuris 10 žiedo polinomas h (x), iš kurio dalijasi tie polinomai. Nulinio …
Excerpt
(1.0)—(1.k +1) formulėmis aprašytas metodas dviejų polinomų didžiau- siam bendrajam dalikliui rasti. Tas metodas vadinamas Euklido algoritmu ir yra realizuojamas baigtine dalybos su liekana algoritmų seka. Kadangi žiedo K [x] dviejų polinomų nepilnasis …
Excerpt
Dviejų polinomų didžiausią bendrąjį daliklį su tais polinomais sieja lygybė, vadinama didžiausio bendrojo daliklio tiesine išraiška. 3 teorema. Jei žiedo K [x] polinomų f (x) ir g (x) didžiausias bendrasis da- liklis yra d (x), tai tam žiedui priklauso …
Excerpt
Pavyzdys. Rasime žiedo O [x] polinomus x (x) ir v (x), tenkinančius (2) lygybę, kai f(x)= =x*+7x?—x—7. g(x)=x3+6x7—8x+1| Sprendimas. Pirmiausia apskaičiuosime (7 (0). £ ())= d(x). Kadangi polinomus 4 (x) ir 0 (x) sudarome iš polinomų f(x) ir g (x) Euklido …
Excerpt
Kita vertus, iš polinomo 4, (x), kaip polinomų 7; (x) ir d; , (x) bendrojo daliklio, dalijasi kiekvienas iš polinomų 74 (x), / (2), ---, f; (x). Vadinasi, d, (xd (x). Remdamiesi vienas kitą dalijančių polinomų savybe ($ 33, 5 teorema), gausime d, (x)=cd …
Excerpt
7 teorema. Jei žiedo K [x] polinomas f (x) yra tarpusavyje pirminis su to žie- do polinomais g (x) ir h (x), tai f (x) tarpusavyje pirminis ir su tų polinomų san- dauga. Įrodymas. Kadangi ( f(x). g (x))=e, tai žiedui K [x] priklauso polinomai u (X) ir v …
Excerpt
Žiedo K [x] natūrinio laipsnio polinomas vadinamas pirminiu virš kūno K (arba žiede K [x]). kai jo negalima išreikšti dviejų to žiedo žemesnio laipsnio polinomų sandauga. Nors nulinio laipsnio polinomas nėra dviejų žemesnio laipsnio polinomų sandauga, jo …
Excerpt
9 L žk "A, G a ži a 1 k T “> Tarkime, kad teorema teisinga visiems žiedo K [x] polinomams, kurių laips- s 2 niai didesni už 0, bet mažesni už deg f. Jei polinomas / (x) yra pirminis, tai te0- "rema teisinga. Laikykime / (x) skaidžiuoju polinomu. Tada …
Excerpt
nomas dalijasi bent iš vieno normuotojo pirminio polinomo p (x), kuris turi sutapti su vienu iš pirminių polinomų p; (x) (i=1, 2, ..., n). Kadangi p (x) | VO) ir p O) p, O)--.p„ (x), tai p (xe. Šis sąryšis prieštarauja nelygybei deg p> 1. Todėl ir virš …
Excerpt
r 7 p(x) laipsniai p;' (x), kurių rodikliai n; tenkina nelygybės O 1, tai Nz,= Nz;=2. Iš čia, pažymėję 2=x+iy V3 (x, y < Z), gauname lygtį x2+3y*=2, kurią turi tenkinti koeficientai x ir. y. Ši lygtis yra neišsprendžiama sveikaisiais skaičiais, todėl …
Excerpt
* METŲ D E Ag š 74 se 36. Poliisdio išvestinės | Algebroje nagrinėjamų polinomų koeficientai gali priklausyti (bet kokiam kūnui. Todėl polinomo išvestinę apibrėšime nesiremdami tolydumo ir ribos sąvokomis. Žiedo K [x] polinomo n JO)=a,+a4,x 10,51... …
Excerpt
| Irodysime G formulę. : Remiantis: BOinoinį S dadagzčes Aplorežiniijs n+-m 'OsA= X ak(a= X ab; k=0, 1, nm). Ę k=0 i-j=k . Todėl 3 n+m * VO) 6N= J, kų aki, (4) . Kadangi f'(x)= 2 it E o tai i=1 ; j=1 n+-m P GO EO)S S ItioG ri 5 b;x1= 2 ( 5, ia,b,) xk-1, …
Excerpt
Tada k Ei A EA (Xr0)=|( X 10-10) =| X 10) + 0= i=1 i=1 i=1 k-1 k = > f 0+K0)= J, fi O). i=1 11 2 išvada. Jei c yra kūno K elementas, o f(x) — žiedo K [x] polinomas, tai [f 6JY =" (A). (7) Įrodymas. Pritaikę (3) formulę sandaugai c/ (x), gauname If) = 76) …
Excerpt
K a polinomo f (x) kanoninis skaidinys virš kūno K. Pagal 2 teoremą pirminis “ daugiklis p; (x) yra išvestinės /' (x) k; — I-ojo kartotinumo pirminis daugiklis (i=1, 2, -.., 5). Todėl a OO ao OK "čia g (x) yra žiedo K [x] polinomas, tarpusavyje pirminis …
Excerpt
PET LA E S ESS S || Kartotinių daugiklių atskyrimas nėra polinomo skaidymo į pirminius dau- giklius „metodas, nes f (x)=A (3), kai polinomas f(x) neturi kartotinių daugiklių. Jei f (x) £/, (x), tai polinomą / (x), atskyrus jo kartotinius daugik- lius, …
Excerpt
Kadangi r f6)+86)= 2, dai i=0 (čia d,=a;+b;, kai O0 …
Excerpt
n n-ojo (n> 1) laipsnio polinomo /(x)= > a;xi dalybos iš x—c nepilna- i=0 ni sis dalmuo g (x) yra n— I-ojo laipsnio polinomas g (x)= Žž b;x*. Įrašę tas po- i=0 linomų f(x) ir g (x) išraiškas į (6) lygybę, gauname a, …
Excerpt
Įrodymas. Taikome dalybos su liekana algoritmą: J()=(x4—c) g0 (x) +rų, deg gį=n—1, ga (x)=(x—c) g, (x) +, degg,=n—2, ai 6)=(00—0) 5 (x) +-r;, degą;=n—3, (8) a apus e alia jųjų e ja asa T aa a e I-2(x)=04—c)ga-1 (X) +-"m-15 deg g2-1=0, 4-1 (xX)=(x—c)O+-r,. …
Excerpt
2 f(x)=x1—-3x71+2x*—-4x13 " išskleisime dvinario x—1 laipsniais. Sprendimas. Polinomą f (x) ir jo nepilnuosius dalmenis nuosekliai dalijame iš x—1 naudodamiesi Hornerio lentele: (Ep | 841 20-24 La ee is a | | | 1 1 | —2 | 0 -4 | —-1 | Į ! Į ! LA 1 | —1 | …
Excerpt
kus ao Os a Iš (10) nės išplaukia, kad nenulinio Pa kkono ŠA 6) šaknies c kartoti- numas * ne didesnis už deg f. Kai k=1, polinomo f(x) šaknis c vadinama paprastąja šaknimi, o kai k> 1 — kartotine šaknimi. 5 teorema. Nulinės charakteristikos kūno K …
Excerpt
+ teoremos išvados išplaukia [(x—c,)(xX—c5)* (x—c)“1V f(x). Todėl Jo) =(x—0)) (x—C5)P V (x-c)g (x) (g (> ) < K [x]). Jei kuri nors iš polinomo f(x) šaknų, sakykime c,, būtų polinomo g(x) šaknis, tai būtų teisinga lygybė g(x)=(x—c;)g (x) (g (x) < K [x|). …
Excerpt
(13) /ygybės vadinamos Vieto formulėmis. Jos sieja polinomo f(x) koeficientus su jo šaknimis. Pastaba. Jei polinomo f(x) vyriausiasis koeficientas būtų lygus a,, tai (13) lygybėse koeficientą a; reikėtų keisti santykiu a;/a, (i=0, 1, ..., n—1). 8 …
Excerpt
22 1šš šio S Bibrešimo išolaukia, jo i0E Ara virš ma Aido kūno Žali "mas yra pirmojo laipsnio. | 1 teorema. Jei kiekvienas žiedo K [x] natūrinio laipsnio polinomas turi bent vieną šaknį kūne K, tai tas kūnas yra algebriškai uždaras. Įrodymas. Taikysime …
Excerpt
„ainlabla 4 G ko a as K ės * Įrodymas. Imkime bet kurį virš kūno R pirminį polinomą p (x). Jei to “ polinomo laipsnis didesnis už I, tai p(x) turi menamąją šaknį c=a+bi (b+0). Remiantis 3 teorema, skaičius c=a—bi taip pat yra to polinomo šaknis. “ …
Excerpt
ša |x1> 11 4713, | 66 |x|-21> 4/1a4 |. Todėl 1 I76)|> 12, (| *|-|x|"+1)=|4,|> 0. Iš čia išplaukia, kad f (x) 0, kai | x |> M. Vadinasi, visos polinomo / (x) rea- liosios šaknys priklauso atkarpai [— M; M]. Pavyzdys. Rasime polinomo f …
Excerpt
A.MATULIAUSKAS …
