Excerpt
$6. Pirmos eilės tiesinės lygtys 39 ir iš formulės (11) išvedame lygties (18) bendrąjį sprendinį, iš ku- rio, vėl panaudoję pakeitimą (20), gauname lygties (15) bendrąjį sprendinį š , 1 1 — [ter x. + 1 61d> — Ce a Vu J. —Yi Kada žinome tris skirtingus …
Excerpt
40 Ii. Lygties y/=f(x, y) sprendimas kvadratūromis patenkina Rikačio lygtį. Įrodymui sudarome funkcijų šeimos (23) diferencialinę lygtį: padauginę iš trupmenos vardiklio abi lygybės puses, jas diferencijuojame ir eliminuojame konstantą C: (Ny'+> Ny-L)C= — …
Excerpt
$ 6. Pirmos eilės tiesinės lygtys 41 jais šie sprendiniai yra išreiškiami Beselio funkcijomis, kurias kiek panagrinėsime $ 32. 1 pavyzdys. xy'—3y=0. Atskyrę kintamuosius, integruojame duotąja lygtį: dy 3 dx Iš 1 737. Inly|=šln|*|+1|G]. Gauname bendrąjį …
Excerpt
$7. ; Lygtys pilnais diferencialais 43 $ 7. Lygtys pilnais diferencialais. Integruojamasis daugiklis 1. Iki šiol nagrinėjome diferencialinę lygtį e) (I) srityje, kurioje funkcija f(x, y) buvo tolydinė. Tokios lygties kryp- čių lauke negalėjo būti krypčių, …
Excerpt
44 Il. Lygties y'=f(x, y) sprendimas kvadratūromis Diferencialinėje lygtyje (2) funkcijos p(x, y) ir g(x, y) yra to- lydinės nagrinėjamoje srityje g ir apibrėžia tolydinį krypčių lau- ką. Iš čia integralinė kreivė (4) yra glodi kreivė, tai yra turi toly- …
Excerpt
Š 7 Lygtys pilnais diferencialais 45 Lygybes (8), reiškiančias integralinę kreivę, kartais vadiname lygties (2) parametrinio pavidalo sprendiniu. 2. Panagrinėkime specialų diferencialais parašytos lygties D(x y)dx +ą(x, y)dy =0 (10) atvejį, kur, kaip ir …
Excerpt
46 II. Lygties y/=f(x, y) sprendimas kvadratūromis Kairioji lygybės (14) pusė turi srityje g tolydines dalines išves- tines (13), be to 2 = ą(x, y) Z0, todėl pagal neišreikštinės funkci- "jos egzistencijos teoremą per kiekvieną srities g tašką eina vie- …
Excerpt
Išvada (mažoji Ferma! teorema). Jei sveikasis skaičius a nesidalija iš pirminio skaičiaus p, tai a?-1=] (mod p). Įrodymas. Kūno Z, multiplikacinė grupė 2 yra p— !-osios eilės. Re- miantis Lagranžo teoremos 1 išvada, skaičius p—1 dalijasi iš bet kurio tos …
Excerpt
Įrodymas. Pirmiausia įrodysime (4) teiginį. Iš (3) Niutono binomo formulės išplaukia axby=+( | ) Aba 4 ž ) ab?P-14 BP. Ė 2 ži p 2 £ Binominio koeficiento ( k J- „Pir Ck) …
Excerpt
lygybę e= (ke) (we). Vadinasi, we=(ke)7!, o tai rodo, kad aibė K, yra kūno K pokūnis, ir, be to, pirminis, nes visi sveikieji kūno vieneto kartotiniai pri- klauso kiekvienam to kūno pokūniui. Atvaizdis (me) = m (m=0, 1, ..., p— 1) yra dviejų kūnų K, ir …
Excerpt
Uždaviniai 1. Natūrinių skaičių aibėje N apibrėžta algebrinė operacija *: a+b=(a+b)* (Va, b < N). Nustatykite, ar ta operacija yra komutatyvi ir asociatyvi. Ats. Operacija komutatyvi, bet nėra asociatyvi. 2. Natūrinių skaičių aibėje V apibrėžta algebrinė …
Excerpt
15. Sudarykite likinių klasių mod 3 kūno veiksmų lenteles. P 2 kaka | | | | pava TT TT TBBELA ANT 0:2 0 k ESA s | a jaja E a - — I ina dkiai [6-2 0 Tas ia0 abop L alės "m E Ta 2 241 404 B+ 0 2 ti 4) 16. Įrodykite, kad aibė A= (0; 1; a; b), kurioje sudėtis …
Excerpt
nes bet kurio realiojo skaičiaus x kvadratas yra neneigiamasis skaičius. Kyla natūralus klausimas, ar galima taip praplėsti realiųjų skaičių kūną R, kad gau- tajam plėtiniui priklausytų (1) lygties šaknis. Norėdami į ji atsakyti, nagri- nėkime aibės R …
Excerpt
Kra. „—z (a; b) priklauso ir elementas (a/(a*+6?*); —b/(až+b*)). Padauginę jį iš ele- mento (a; b), gauname (a/ (a*--b?); — b/(a* …
Excerpt
Ši formulė vadinama kompleksinio skaičiaus z algebrine išraiška, skaičius a — tos išraiškos realią ja, sandauga bi — jos menamąja dalimi, o skaičius b — menamosios dalies koeficientu. Kompleksinis skaičius su nelygia nuliui menamą ja dalimi vadinamas …
Excerpt
"Pavyzdžiui, (2—3i)=235—3-22-3i4+ 3-2 -(3i)ž — Gi) = 8 — 36i—54 + +27i= —46—9i. 1 teorema. Kompleksinių skaičių kūne galima ištraukti kvadratinę šaknį iš bet kokio kompleksinio skaičiaus z=a-4-bi. Įrodymas. Sakykime, Va +bi=x+7yi (x, y < R). Tada …
Excerpt
Kompleksiniai skaičiai z=a+bi ir z=a-bi vadinami jungtiniais skaičiais. Bet kuris iš skaičių z, Z vadinamas jungtiniu kitam skaičiui. Nurodysime svarbiausias jungtinių skaičių savybes. 2 teorema. Kompleksinis skaičius lygus sau jungtiniam skaičiui tada ir …
Excerpt
Įrodymas. Reiškinio F kompleksinius skaičius žymėkime zį, Z3, . 2) kompleksinių skaičių. Pažymėję paskutinįjį veiksmą reiškinyje F ženklu +, gausime F=F,+F,; čia F,=F (215 5 Zy), p= E5 (Zkgas 5 Zn) ir …
Excerpt
giagretainio AOBC priešingųjų kraštinių ilgiai, todėl AO0AD= ABCF. Iš čia išplaukia lygybė | EG |=| BF |=| OD |. Taigi a;=a, 35. Analogiškai įsitikintume, jog b,=b,-4-b;. Vadinasi, a;+b5i=(a,+a5)+(b,+6,) i=(a,+bji)+-(a5+b5i). | Kai bent vienas iš taškų A …
Excerpt
Iš čia aišku, kad cos 9 cos p, +sinę sin g, =cosžą; +-sinž y,;, arba cos (6 —9;) = =1. Taigi o=9,+27k (k e Z). Atvirkščias teiginys akivaizdus: jei kompleksinių skaičių z 0, o sinę= …
Excerpt
1 išvada. Kompleksinio skaičiaus z modulis tenkina lygybę |-z|=|z|- (8) 2 išvada. Jei z,, Z2, ---, Z, yra bet kokie kompleksiniai skaičiai, tai |Z1Z> ---Z4 |=| Zi | | Z2 |---| Zn | (9) arg (Z12> ---Z,)= ), argz; (Z,*0, i=1, 2, -.., m). (10) 1 Įrodymas. …
Excerpt
Iš šios formulės galima gauti kartotinio kampo nę (n e N) sinuso ir kosi- nuso išraiškas trigonometrinėmis funkcijomis sin Ę ir cos p. Tuo tikslu į (11) formulę įrašykime r=1: cos no +isin nę =(cosę +i sino)". Pakėlę tos lygybės dešiniąją pusę 2-uoju …
Excerpt
1 išvada. Dviejų kompleksinių skaičių skirtumo modulis ne didesnis už tų skaičių modulių sumą. E Teiginį įrodome pritaikę 6 teoremą kompleksinių skaičių = ir —z, sumai, nes pagal 3 teoremos 1 išvadą | —z, |=| zi |- 2 išvada. Dviejų kompleksinių skaičių …
Excerpt
Vadinasi, (1) formulės skaičiai z,, kai k=0, 1, ..., n—1, išsemia visas šak- n nies |/z reikšmes. Lieka įsitikinti, kad skaičiai z4, Z1, --., Z,-; yra skirtingi. Tarę priešingai, turėtume lygybę z,;=z5 …
Excerpt
Įrodymas. Imkime bet kurią n-ojo laipsnio šaknies Vz (z+0) reikšmę Z5 (0 1= =1. Taigi 7-ojo laipsnio vieneto šaknų aibė uždara daugybos atžvilgiu. Iš ly- gybės (1/w,)"=1/wz7=1/1=1 išplaukia, jog »-ojo laipsnio vieneto šaknims atvirkštiniai skaičiai yra to …
Excerpt
P $ 31. Kompleksinių skaičių kūno vienatis Kompleksinių skaičių kūnas C yra kūno R plėtinys, kuriame lygtis turi šaknį. Kyla klausimas, ar tas plėtinys vienintelis. Jei yra keli tokie plėti- niai, tai neaišku, kaip jie susiję. Tarkime, kad 9 yra (1) …
Excerpt
4. Apskaičiuokite: 2) (-1+iV3)5 — (-1-iV3)5 | 5) u-(V3X-V3 Sie (+; (Ek 217) 2- 9 / žin sabinų 25 A ; -V3+i 8 Ė = Tūzų "— 117424rk Ats. a) —64; b) V2 (es I ytisin 25); ce) V 2 (cos 25 + 4i sin AI) 1, 2, 3). 48 5. Išreikškite cos 6x kampo x sinusais ir …
Excerpt
Jei 2 yra didžiausias numeris, su kuriuo polinomo f koeficientas a, ne- lygus 0, tai / vadinamas n-ojo laipsnio polinomu, a, — jo vyriausiuoju koe- ficientu, o skaičius n — to polinomo laipsniu ir žymimas deg f. Pirmojo laips- nio polinomai dar vadinami …
Excerpt
Polinomų daugybos komutatyvumo savybė išplaukia iš sandaugos /z koeficiento c; (4) išraiškos koeficientais a; ir b;. Kad įrodytume, jog polino- mų daugyba yra asociatyvi, imkime tris bet kokius polinomus f=(a4; a;; 5; --), g= (by; bi; by; ( x a,b; ) E 2 …