Excerpt
206 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos Pastebėję, kad duotoji sprendinių sistema yra normalinė (patikrinti!), galėjome parašyti bendrąjį sprendinį tiesiog iš formulių (20). 2 pavyzdys. Rasti normalinę diferencialinės lygties y“ — y=0 …
Excerpt
a $ 25. Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 207 $ 25. Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos ir tiesinės nehomogeninės aukštesniųjų eilių diferencialinės lygtys. Konstantų varijavimo metodas 1. Panagrinėsime normalinę tiesinių nehomogeninių lygčių …
Excerpt
208 X. Normalinės tiesinių dilerencialinių lygčių sistemos Panaudoję tapatybę (5), gauname tiesinių homogeninių lygčių sis- temą 2 dZ isss ) turinčią tuos pačius koeficientus, kaip ir sistema (3). Nagrinėdami sistemą (3), vadinsime sistemą (7) atitinkama …
Excerpt
$ 25. Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 209 2 teorema. Normalinės n tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos bendrąjį sprendinį galime rasti kvadratūromis, kai yra žinoma n tiesiškai nepriklausomų atitinkamos homogeninių lygčių sistemos sprendinių. …
Excerpt
210 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos Atskliautę skliaustus kairėje lygties pusėje ir panaudoję tapaty- bes (16), gauname lygybę GA Z= E, k=i ekvivalentišką algebrinių lygčių sistemai Ci (x) Zu (x) 1-1 Ca (4) 21,(*) = 11 (3), ŠUSA E …
Excerpt
$ 25. Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 211 kur io Y.=|| --- ||| Yno jei yra žinomas atitinkamos homogeninės sistemos (7) bendrasis sprendinys (8). Įstatome pradines sąlygas į gautą konstantų varijavimo me- todu bendrąjį sprendinį, kuriame imame tą …
Excerpt
212 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos Įrodymas. Diferencialinė lygtis (20) yra ekvivalenti norma- linei $ 24 (33) pavidalo tiesinių diferencialinių lygčių sistemai N=Y5 Yi=Y2 5 Ya = Ym (23) Ya= —Pa(2)Y1—Pa-1(*)Y2— > > > — Pi (2) …
Excerpt
$ 25. Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 213 kur C; — konstantos, ir, įstatę į pirmąją sistemos (24) lygtį bei prisiminę, kad y;=y, parašome lygties (20) bendrąjį sprendinį k=l M X Zr (X) J g, (E) LE 1+C12,(x)1--.. EB G-Z. 0). 1 pavyzdys. Rasti …
Excerpt
214 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos 2 pavyzdys. Rasti diferencialinės lygties xy“—y = Š8x (28) bendrąjį sprendinį ir išspręsti Koši uždavinius: a) y(0=0, x (0)=0, b) x(0=0, x“ (0)=1. Pastebėję, kad atitinkamą homogeninę lygtį xz''—z …
Excerpt
216 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos kur pirmasis narys virsta nuliu. Įstatę bendrąjį sprendinį ir jo išvestinę į pradi- nes sąlygas, turime 0) — G. — ZA 00) = aG, — B Koši uždavinio sprendinys > = L f rosae-Da+ 40005 TT $ 26. …
Excerpt
$ 26. Tiesinių lygčių sistemų lygčių skaičiaus sumažinimo atvejai 217 Tam tikslui tiesiškai pakeičiame priklausomus kintamuosius: Yi =Yu (4) 211 Vim (X) žmo Ya=Ym (x) 2, -- CDT TY (2) Emo Ya+i=Ymii (X) 211. Ein ms E (x) =„-+ Zm+15 (5) VYm+2 —Ym+2,1 (+), …
Excerpt
218 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos kui Zm+1, m+1 (x) Zm+2, m+1 (> Za m+1 (X) D. (69) ii 0. | Zm+1,n (x) Z„+2, n (x) 1172 (x) Įstatę šios fundamentalios sistemos sprendinius į m pirmųjų sistemos (8) lygčių, apskaičiuojame …
Excerpt
Šš 26. Tiesinių lygčių sistemų lygčių skaičiaus sumažinimo atvejai 219 kurį sudarančių funkcijų viena, sakysime pirmoji, yra visame duo- tame intervale nelygi nuliui: Ja) Z0 …
Excerpt
220 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos 3. Imame normalinę n tiesinių nehomogeninių lygčių sistemą k i (x, 1 - T- Pin (x) y, + Jk (x) (k= 1, 2 "D n), (16) kurioje funkcijas pyi(x) ir fp(x) (k, := 15 …
Excerpt
$ 26. Tiesinių lygčių sistemų lygčių skaičiaus sumažinimo atvejai 22Lt Paėmę keitimo formulėje (19) z=1, turime lygties (17) sprendinį Yy=yi(x), taigi z=1 yra lygties (20) sprendinys. Įstačius z=1 į lygtį (20), lygtis turi virsti tapatybe: gn(x)=0, todėl …
Excerpt
222 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos kurią integruodami ir pažymėję integravimo konstantą —C; gau- tume Ya (X) Ima) | O T + žo), Cu arba , Cixi (x) +- Csy5 (x) ---. +- CYa(x)=0, kas prieštarauja mūsų teiginiui, kad funkcijos …
Excerpt
Šš 26. Tiesinių lygčių“ sistemų lygčių skaičiaus sumažinimo atvejai 223 Pavyzdys. Išspręsti dviem būdais diferencialinę lygtį y—Y—y kys Ie, en jei žinomi du atitinkamos homogeninės lygties sprendiniai e* ir e7*; 1) suvedant lygtį į normalinę sistemą bei …
Excerpt
224 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos Iš lygybės y:=y, kitaip pažymėję integravimo konstantas, gauname lygties (27) bendrąjį sprendinį y=e*1 Ax 1B7*+Ce 7. (32) 2) Pažeminsime duotos lygties (27) eilę, pasinaudoję vienu žinomu …
Excerpt
XI SKYRIUS TIESINIŲ DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS IR TIESINĖS AUKŠTESNIŲJŲ EILIŲ DIFERENCIALINĖS LYGTYS su PASTOVIAIS KOEFICIENTAIS. EULERIO LYGTYS $ 27. Tiesinių homogeninių lygčių sistemos ir tiesinės homogeninės aukštesniųjų eilių lygtys su …
Excerpt
226 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais parašome sistemą (1) matricomis: 27 e Kai n=1, sistema (1) virsta viena lygtimi y; =2,;4y,, turinčia bendrąjį sprendinį y, = Ce“j1", todėl ir sistemai (2) ieškosime Fi | 0) 6) £1 …
Excerpt
228 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais padaliję jas iš > gauname n—1 lygčių sistemą, iš kurios apskai- čiuojame apibrėžtas dalmenų Pi P Pip-1 Pip+i 2, > PžPPEB ĖS 17 ae K e P, P, Pir Pį Pį ik ik reikšmes, nes sistemos …
Excerpt
230 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais Kad tai yra sistemos (2) fundamentalūs sprendiniai, įsitikiname, kaip ir 1 atveju, pastebėję, kad funkcijas, turinčias menamas reikš- mes, galime diferencijuoti realiu kintamuoju …
Excerpt
P $ 27. Tiesinių homogeninių lygčių sistemos 231 Pažymėsime skirtingas šaknis 4, Az, ..., As, O jų kartotinumus — atitinkamai mį, M> ,..., Is, kur mm. LŽ, riai E ISA S) Teorema. Jei ), yra normalinės tiesinių lygčių sistemos (1) charakteringosios lygties …
Excerpt
232" XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais Viena iš konstantų 0+, nelygi nuliui. Laikydami 01,50, imame 0:1, ir gautas sistemos (5) sprendinys virsta “ a=l B= Pao 5 Em Pal (17) Įstatę 0+ reikšmes (17) į formulę (9), …
Excerpt
= 234 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais Parodysime, kad sudarytos iš p—1 sprendinio (23), (24) ir spren- dinio (25) matricos 1 0 22 0 ži 2 AOL EA du (25) 2 0, (E) dĘ 0., (x) *.-) 0. (x) į=2 rangas yra lygus p. …