Excerpt
š 30. Svyruojaniieji ir nesvyruojantieji sprendiniai 275 n = m +. 4 pavyzdys. Išspręsti lygtį xy"—2y' 4+2xy=0. 3 (39 Šiuo atveju P(x)= — Ž. Be to, nesunku pastebėti, jog y;=x yra: duotos lygties sprendinys. Taigi, pasinaudoję formule (23), randame …
Excerpt
276 XII. Antros eilės tiesinės lygtys yra funkcijos (5) nulinės vietos. Atstumas tarp šių bet kurių abiejų T gretimų taškų yra lygus r. Be to, kiekviename intervale (a, b), kurio ilgis b-a> 7, egzistuoja lygties (2) bet kurio sprendinio bent viena nulinė …
Excerpt
$ 3t. Svyruojantieji ir nesvyruojantieji sprendiniai 277 pavidalo lygčių tyrimu, nes, kaip anksčiau matėme (žr. $ 30), pa- keitimu y=u(x)2, kur LI p no, bet kurią Po) V + PL) V B () y =0 (10) pavidalo lygtį galime suvesti į (9) pavidalą. Be to, …
Excerpt
278 XII. Antros eilės tiesinės lygtys * lo. Nenusižengdami bendrumui, šiame intervale galime imti vyi(x)> 0, nes priešingu atveju imtume sprendinį — y;(x). Turime Yi(Xo) > 0, nes y; į dešinę nuo x, didėja. Be to, y; (x4) Z0, nes prie- šingu atveju būtų …
Excerpt
$ 31. Svyruojantieji ir nesvyruojantieji sprendiniai 279 jeigu būtų, pavyzdžiui, y»(Xo) =0, tai turėtume W(xo)=0, kas prieš- tarautų Vronskio determinanto žinomai savybei. Kadangi W (x) nevirsta nuliu, tai ši funkcija yra pastovaus ženklo; leiskime, kad W …
Excerpt
280 XII. Antros eilės tiesinės lygtys ir jų atskiri tiesiškai nepriklausomi sprendiniai: AL — cos. 12 SUS (17) 21 C08217. > > SinJ+ (18) Pasinaudoję formulėmis (12) ir (13), įsitikiname, jog tarp bet kurių dviejų lygties (15) bet kurio iš sprendinių (17) …
Excerpt
Š.a1. Svyruojantieji ir nesvyruojantieji sprendiniai 281 arba . (91 21—2191) = [0: ()=0, G)) Y121- Padauginę šią lygybę iš dx, ją integruojame atkarpoje [X0, Xi]: x. [0210-2105 0|L-> = i [0-0 0710 216) dx. Kadangi yi(xo)=y1(x:)=0, tai iš čia gauname: Vi …
Excerpt
282 XII. Antros eilės tiesinės lygtys 1 3 . Anksčiau matėme, jog lygties (2) bet kurio sprendinio dviejų gretimų nulinių vietų atstumas yra lygus -- Lygtį (19) pakeitę lygtimi | y +my=0, o lygtį (20) — duota lygtimi (9) ir atsižvelgę į palyginimo teoremos …
Excerpt
Ž | | ; sai Svyruojantieji ir nesvyruojantieji sprendiniai 283 2 2 patenkina sąlygas: O(x)> I, jei n* < 2 I O(x) 7 1 0(+)= Lo n= == Di Palyginę lygtį (24) su lygtimi y"+y=0, matome, kad lygties (22) bet kurio sprendinio dviejų gretimų nulinių vietų at- …
Excerpt
284 XII. Antros eilės tiesinės lygtys $ 32. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas eilutėmis. Beselio ir hipergeomeirinė lygtys 1. Išreikšti antros eilės tiesinių diferencialinių lygčių su kinta- mais koeficientais bendrus sprendinius elementariomis …
Excerpt
$ 32. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas eilutėmis 285 Matome, kad nelygūs nuliui koeficientai yra išreikšti pirmai- siais koeficientais d; ir a,, kurių gautos lygtys neapibrėžia. Vadi- nasi, šie du koeficientai yra laisvos konstantos. Įstatę …
Excerpt
1 286 XII. Antros eilės tiesinės lygtys | čių metodu suvedame į jau išnagrinėtą atvejį. | 4 Tada pakeitimu x—a=Ę lygties (1) sprendimą laipsninių eilu- | Pastebėsime, jog nurodytu metodu galime spręsti bet kurios eilės tiesinę diferencialinę lygtį. Tik …
Excerpt
"—" $ 32. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas eilutėmis 287 Ištirsime sprendinį, atitinkantį reikšmę r,=n, tuo atveju, kai n nėra sveikas skaičius. Lygties (6) sprendinį taško x=0 aplinkoje ieškome apibendrin- tos laipsninės eilutės pavidalo į ao = …
Excerpt
288 XII. Antros eilės tiesinės lygtys Išskaičiuotas koeficientų reikšmes įstatę į formulę (8), gauname:: co =" AA 1 Yv 4, ži 2 2 "Ei S jai) er (10) kur ad; — laisvai parenkama konstanta, o eilutė konverguoja visoje x ašyje. Tokiu būdu, funkcija (10) yra …
Excerpt
E $ 32. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas eilutėmis 289 Sprendiniai (12) ir (13) yra tiesiškai nepriklausomi. Tokiu būdu, kai n nėra sveikas skaičius, funkcija v= CJ, (x) + GC: J (X) (+ 70) yra Beselio lygties (6) bendrasis sprendinys. Jeigu n …
Excerpt
290 XII. Antros eilės tiesinės lygtys iš kurios, kai y> 0, turime: = 07 Surinkę narius su x, jo koeficientą prilyginame nuliui: 22, +2x2;—(2+84 1)a,—a84,=0, arba 2(x+1)a;=(21-1)(811)a,. Iš čia, jei y> 5—1, gauname: — G+DG+D „— *C+D86+1) 22 Zt+D 1 12tGtD …
Excerpt
$ 32. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas eilutėmis 291 Eilutė (15) yra vadinama hipergeometrine eilute, nes, kai a=1, B=y, iš jos gauname geometrinės progresijos eilutę 2 | i 22 ai (I B, B; )=14+ 35-17 (lsĮ < I). n=0 Be to, lengva įsitikinti, kad …
Excerpt
292 XII. Antros eilės tiesinės lygtys Ši lygtis yra Gauso lygtis (14), kurioje vietoje parametrų a, p ir y įeina atitinkamai a4+1—y, 84+1—y, 2—y. Tokiu būdu, funkcija w apibrėžiama lygybe w=F(a41—15,) B+l—-7, 2—4 x). o lygties sprendinys, tiesiškai …
Excerpt
294 | XII. Antros eilės tiesinės lygtys Lygtyje (27) pakeičiame Ę=kx (28) Tada „yi Sd ME p B "-Ž( ) p dy ia UE ME UE dęž | Tokiu būdu, duotą lygtį parašome pavidalu —n*)y=0, iš kurios, atsižvelgę į pakeitimą (28), turime Beselio lygtį p T AG-)y-0, 29) dę* …
Excerpt
k $ 32. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas eilutėmis 295 Tokiu būdu, iš formulės (16) gaunamas lygties (32) sprendinys yra „=F(-n, n+1, 1; Ę). (33) Jeigu lygties (32) antrojo sprendinio ieškotume pagal formulę (17), tai gau- tume tą pačią funkciją …
Excerpt
XIII SKYRIUS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDINIŲ STABILUMAS $ 33. Sprendinių diferencijavimas parametru ir pagal pradines reikšmes 1. Sprendžiant įvairius mechanikos ir fizikos uždavinius, svarbu ne tik nustatyti gautos diferencialinių lygčių sistemos …
Excerpt
E $ 33 Sprendinių diferencijavimas parametru ir pagal pradines reikšmes 297 " egzistavimo srityje (žr. $ 20) |Įx—a| 1), (6) Oy; : 2— Vi (05 Xos Vi0> V20> + + 5 Va05 p) (i, E= 12 2. k, 1), (7) ko Oyį į ; Už (55 03 Jun Jan i Ja EL B m GD Of; o + EAG Jas Ya …
Excerpt
$ 24. Tiesinių homogeninių lygčių sistemos 199 visame intervale (a, b). Iš čia nė viename intervalo taške negali virsti nuliu visi sprendinių (29) matricos (30) m eilės minorai, nes kitaip, išskleidę determinantą (12) pagal Laplaso teoremą jo pirmųjų m …
Excerpt
> 200 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos Kai f(x) =0, n eilės tiesinė lygtis (32) ir atitinkama normalinė tie- sinių lygčių sistema (33) virsta homogeninėmis. Kaip ir sistemos (1) atveju, lengvai įrodome, kad tiesinė di- ferencialinė …
Excerpt
$ 24. “| Tiesinių homogeninių lygčių sistemos 201 normalinės n tiesinių lygčių sistemos (33) sąryšį (34). Kai kurios lygties (36) savybės tiesiog išplaukia iš formulės (37). Homogeninė lygtis (36) visada turi trivialų sprendinį y=0. Kaip 1' teorema rodo, …
Excerpt
202 X. Normalinės tiesinių diferencialinių lygčių sistemos Pavyzdžiui, funkcijos x* ir x x| yra tiesiškai nepriklausomos in- tervale (—1, +1), o jų Vronskio determinantas yra tapatingai lygus nuliui. Iš tikrųjų, jei funkcijos būtų tiesiškai surištos, …
Excerpt
$ 24. Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 203 ir, įstatę į Jakobio formulę (13), gauname Eiuvilio: (J: Lio- uville) — Ostrogradskio formulę - Jao40 W()= V (x)e " i …
