Excerpt
$ 11. Lygčių, išspręstų išvestinės atžvilgiu, sprendinio egzistencija 93 tolydinė segmente (22); todėl ji yra aprėžta ir egzistuoja tokia konstanta C, kad šiame intervale: | 6) …
Excerpt
94 IV. Diferencialinių lygčių sprendinio egzistencija Parodysime, kad ribinė funkcija (28) yra integralinės lygties (19) sprendinys. Funkcijų sekai tolygiai konverguojant, jos inte- gralų sekos riba yra lygi ribos integralui, todėl, paėmę lygybės (21) …
Excerpt
vau LG Lygčių, išspręstų išvestinės atžvilgiu, sprendinio egzistencija 95 kurį įstatome į nelygybę (31), paėmę joje m= 1: ls0-0| …
Excerpt
96 IV. Diferencialinių lygčių sprendinio egzisiencija ir patenkina Lipšico sąlygą srityje D, o taškas (a;, B;) yra srities D viduje, tai, laikydami šį tašką naujo tipo stačiakampio, gulin- čio srityje D, centru, galime tokiu pat būdu įrodyti egzistenciją …
Excerpt
«28: Eulerio lygtys 249 Čia ij Popo By (= 2, Nn) patenkina $ 27 (5) pavi- dalo NES sistemą, kurioje įstatyta A=2;; Pi= Pijo P2— Ejo > > > = Ėnj Šu Jei AyaiiEs (6) šaknys yra skirtingos, bet ne visos realios, tai sprendinyje (8) kiekvieną sujungtinių …
Excerpt
250 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais Pakartotinai diferencijuodami y, išvedame formulę: dy d a d d Žr al Ua) [7 (RES A532/0: 5 n) (12) Įstatę pakeitimo formulę (11) ir išvestinių išraiškas (12) į duo- tąją Eulerio …
Excerpt
$ 28. Eulerio lygtys 251 x*+tYvirx—V pavidalo laipsnius pakeičiame formulėse (14) ar (15) tų laipsnių realiąja ir menamąja dalimi x*cos y In x ir x“ siny In x. Panašiu būdu sprendžiame lygtį (ax +-6Y y) 1-0, (ax +-6"1y"-D1- Te, (ax1+6)y" +-0,y=0, kartais …
Excerpt
252 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais iš kur, paėmę 0;=—1, turime 02=14+i ir gauname sistemos (18) sprendinį: y= —e6+0 = — 5 (cos r L isin p), z=(1+)eGtP: = pr [tos t—sin1) L-i(cos 7 4 sin 0] ; Kitą charakteringosios …
Excerpt
$ 20. Specialaus pavidalo tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 253 Konstantų varijavimo išvengiame, kada yra žinomas vienas duotos nehomogeninių lygčių sistemos ar nehomogeninės lygties spren- dinys. Parodysime, kaip galima surasti tokį sprendinį, jei …
Excerpt
254 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais kur visi P„:(x) yra algebriniai polinomai. Kad galėtume parašyti vieną tokios *istemos sprendinį, turime rasti vieną paprastesnės sistemos d D a -Ta TR (R=1, 2 8) G) sprendinį. …
Excerpt
$ 29. Specialaus pavidalo tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 255 Panariui integruodami lygtį ir pritaikydami dešinėje pusėje inte- „ gravimo dalimis formulę, gauname lygybę, iš kurios išreiškiame „A Gpež = 02 (Aja dE = 0 a,(*) €““. Čia o (x), kaip ir …
Excerpt
256 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais kur O:(x) yra h laipsnio polinomai su neapibrėžtais koeficientais. Tuos koeficientus apskaičiuojame, įstatę sprendinio išraišką (7) į duotąją sistemą ir pareikalavę, kad gautųsi …
Excerpt
$ 29. Specialaus pavidalo tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 257 Jei o nėra charakteringosios lygties šaknis, tai formulėse (9) ar (11) reikia imti r=0 ir ieškoti lygties (8) sprendinio v=O0, (xe (12) pavidalo. Formulėse (11) ir (12) Gn(x) reiškia …
Excerpt
258 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais ryšiu, iš charakteringojo polinomo (17) parašome atitinkamą ope- ratorių: M=F(0):+F (0) + L A Grįžtame prie lygties (13), T laikome Ps(x)=P0+-21x+--- + 5. Tegul F(0)=0, tai yra o …
Excerpt
$ 29. Specialaus pavidalo tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 259 Šios lygčių sistemos determinantas, lygus savo diagonalinių ele- mentų sandaugai [F(0)]*+1, nėra nulis (nes o nepatenkina cha- rakteringosios lygties), todėl sistema turi apibrėžtą …
Excerpt
260 XI. Tiestnių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais Prilyginę vienodų x laipsnių narių koeficientus, parašome koefi- cientams-g+ apskaičiuoti algebrinių lygčių sistemą | FP (0) + FUD (0) + FUD)... + FP (0)=D0 | 1 I 21. a("T)PP0)+a …
Excerpt
$ 29. Specialaus pavidalo tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos 261 polinome, esančiame (12) pavidalo sprendinyje (šiuo atveju — me- namame), realią ir menamą dalį. Įstatę į lygtį (26) jos sprendinį (27) ir pakeitę abi lygybės puses sujungtinėmis …
Excerpt
262 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais Kada 0 nėra $ 28 (13) pavidalo charakteringosios lygties JA — DA a AO Ba Lan Dj AS AB 0 (33). šaknis, lygtis (32) turi y=* 0, (In x) 4 pavidalo sprendinį, kur O+(In x) yra ne …
Excerpt
264 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastovlais koeficientais Įstatę Koši uždavinio sąlygas (37), turime apibrėžtinę algebrinių lygčių sis- temą K — 5 44C, 4 »(0)=-2C,+C,+4C,-1=1, K0— 0-1 Gr1i=4 Apskaičiavę konstantas ir gavę C;=1, C> =0, …
Excerpt
4 - | $ 29. Specialaus pavidalo tiesinių nehomogeninių Tygčių sistemos 265 iš kur v kB GB Sa AE ir iš bendrojo sprendinio (47) parašome ieškomąjį sprendinį: : A y=y,cosar+ 20 sin at + Za (coskt —cosai)+ B 3 ks T= rų (sia EA Pin at). (48) 2 atvejis. k=a …
Excerpt
XII SKYRIUS ANTROS EILĖS TIESINĖS LYGTYS $ 30. Antros eilės tiesinių lygčių prastinimas Panagrinėsime antros eilės tiesinių homogeninių diferencialinių lygčių suvedimą į specialius pavidalus, kurie dažnai taikomi šioms lygtims spręsti ir jų sprendiniams …
Excerpt
268 XII. Antros eilės tiesinės lygtys Išsprendę šią lygtį u(x) atžvilgiu, randame: p= ži a 6) Nagrinėjamu atveju pakanka imti vieną sprendinį. Formulėje (5) imame C=1. Padauginę lygtį (1) iš gauto daugiklio u(x), turime: [rod š [PG)dx [PG dx V"1 P(x e y …
Excerpt
270 XII. Antros eilės tiesinės lygtys Funkciją u(x) parenkame taip, kad koeficientas prie z' būtų ly- gus nuliui, t. y. 2u“ (x) — “1 P(x)=0. u(x) Šios lygties bendrame sprendinyje S Ža 22 Iro dx imame C=1. Tada turime sprendinį a (17 iš kur u(x) = — = …
Excerpt
Š. 30. i Antros eilės tiesinių lygčių prastinimas 271 Nesunku įsitikinti, jog antros eilės dviejų diferencialinių lyg- čių invariantų lygybė yra būtina ir pakankama sąlyga, kad vieną iš tų lygčių (15) pavidalo pakeitimu suvestume į kitą lygtį. Kai K(x) — …
Excerpt
272 XII. Antros eilės tiesinės lygtys Įstatę pakeitimą (25) į lygtį (14), turėsime: R(x) 5 P(x) | y'=72; 1] y=ye'+2, L =y [+2+P0=+R60]=0. Padalinę šią lygybę iš y ir sutvarkę narius, tikrai gauname Rikačic lygtį: z = — [+ P6)=+ RG). (2 Taigi pakeitimas …
Excerpt
274 XII. Antros eilės tiesinės lygtys Atsižvelgę į formulę (20), turime pakeitimą 1 dx x Zz y=e E (33) kuris lygtį (31) suprastina: 4 + 1-—Ž- z=0. (34) Kai E + pakeitimas (33) redukuoja atitinkamą Beselio lygtį 1 Ay++(2-4)5=0 (35) į lygtį E z—0); kurios …