Excerpt
$ 8. į Bendros sąvokos 63 Tos lygties bendrasis integralas kartais parašomas viena lygtimi su viena konstanta C: by —31 (5 CY —922(x; C)].-- Ly — 3, (4 C)]=0. Spręsdami šią lygtį y atžvilgiu, gauname visas funkcijų šei- mas (4). Tegul (xo, yo) yra srities …
Excerpt
64 III. Pirmos eilės diferencialinės lygtys Pavyzdys. F=(y—x)2*—4y4+4xy=0. Turime Ag(x) y)=y—x ir 0F IE 2(y—x)2- Kai y—x+0, iš lygties gauname p= 2 V > . Šaknys yra realios ir skirtingos, kada y> 0. Atskyrę kintamuosius, integruojame lygtį: [--:J- …
Excerpt
6 9. Parametro įvedimas. Klero ir Lagranžo lygtys 65 Iš pirmųjų dviejų lygybių (2) apskaičiuojame diferencialus AB 0f LOG Og dx= > 7 dub pp de, dy = Ša du 4- 57 du. (3) Iš sąlygos Ė=Ž 27 parašome lygybę dy =pdx ir į ją įstatome turi- mas dx, dy ir Ž I …
Excerpt
š 9. Parametro įvedimas. Klero ir Lagranžo lygtys 67 kreivė pereina į glodžią xy plokštumos kreivę. Kreivių kryptys uv plokštumoje pereina į apibrėžtas kryptis xy plokštumoje, todėl pakeitimas (9) atvaizduoja vienareikšmį lygties (4) apibrėžiamą krypčių …
Excerpt
68 III. Pirmos eilės diferencialinės lygtys Panašiu būdu integruojame lygtį *= fi (V; B), (12) kurioje laikome funkciją fi(y, p) ir jos abi dalines išvestines toly- dinėmis nagrinėjamoje srityje ir 2 Diferencijuodami ir L ; d : sa > pakeisdami dx= 2, …
Excerpt
70 III. Pirmos eilės diferencialinės lygtys Parodysime, kad visos tiesės (14) liečia kreivę (15). Paėmę pastovią p reikšmę (p=C), turime kreivės (15) tašką x=—ę(C), y=93(C)—Cę'(C) ir parašome kreivės liestinės tame taške lygtį y—9(C)+Cy'(C)=C[x 1-9 (C)]. …
Excerpt
72 III. Pirmos eilės diferencialinės lygtys kiekvieną tašką atitinka viena parametro t reikšmė. Apskaičiavę dx ir panaudoję ryši dy =pdx, turime dx=f'(0)dt, dy =pdx=g (1) f" (e) dr. (23) Integruodami dy ir prirašydami pirmąją lygtį (22), gauname, kada …
Excerpt
$ 9. Parametro įvedimas. Klero ir Lagranžo lygtys 73 jei ją galima parašyti parametriniu pavidalo A =j, (2), Ei (2), (27) o funkcijos fi(4), fi(4), gi(t) yra tolydinės ir gi(t)> *0. Apskaičiavę dy, iš ryšio dy =pdx išreiškiame dx ir, suintegravę bei …
Excerpt
74 III. Pirmos eilės diferencialinės lygtys kurios kairioji pusė yra m laipsnio homogeninė funkcija x ir y atžvilgiu: Ela y, = F(L 2,0) 20). 33) Paėmeė x> 0, lygtį (32) parašome +(2.2)=0 34) pavidalu. Atvejį, kada iš lygties (34) galima išreikšti p, …
Excerpt
+ 9. Parametro įvedimas. Klero ir Lagranžo lygtys 75 Prilyginę antrąjį kairiosios pusės daugiklį nuliui, gauname 2dp 2 dy=——, = +C. 2, p y 2 + Laikydami p parametru, iš šios lygybės išreiškiame — = Co ir, įstatę į duo- tąją lygtį, išvedame jos bendrąjį …
Excerpt
76 III. Pirmos eilės diferencialinės lygtys Duotąją lygtį patenkina sprendinių šeima y=Cx VIT, (41) geometriškai reiškianti tiesių šeimą. Rasime tos tiesių šeimos gaubiamąją, dife- rencijuodami abi lygybės (41) puses parametru C ir iš gautos lygybės bei …
Excerpt
$ 9. Parametro įvedimas. Klero ir Lagranžo lygtys 77 naujomis koordinačių ašimis, matome, kad pirmoji šių tiesių yra bendroji visų parabolių ašis. Prilyginę pirmąjį kairiosios lygties (43) pusės daugiklį nuliui, turime p=0 ir, įstatę duotąją lygtį, …
Excerpt
78 III. Pirmos eilės diferencialinės lygtys kurį, eliminavę parametrą p ir atsižvelgę į tai, kad y > 0, parašome vy=(+—C3* (x > G). (51) „Integralinės kreivės yra kubinės parabolės, užpildančios pusplokštumę y> 0. Pa- ėmę p=0, gauname, be kreivių (51), …
Excerpt
$ 10. Izogonalinės trajektorijos ir evolventės 79 Paprastesniu atveju duotą šeimą K laikysime priklausančia nuo vieno parametro ir užpildančia plokščią sritį g, per kurios kiek- vieną tašką eina viena ir tik viena šeimos K kreivė, turinti tame taške …
Excerpt
80 III. Pirmos eilės diferencialinės lygtys Įstatę gautą 2 išraišką į lygtį (1) ir taške M vietoj x ir y įrašę Ę ir n, gauname trajektorijų diferencialinę lygtį: 46 1) EU, E Sp (4) dn 1+4(E. m) E Izogonalinių trajektorijų atveju turime pastovų kampą y= yo …
Excerpt
š 10. Izogonalinės trajektorijos ir evolventės 81 Sakysime, kad duotoji kreivių šeima yra parašyta baigtine lyg- timi D(x, y, €)=0, , (11) kurios kairioji pusė yra tolydinė duotoje srityje kintamųjų x, y ir C atžvilgiu, turi tolydines dalines išvestines …
Excerpt
$ 10. Izogonalinės trajektorijos ir evolventės 83 turime lygtį pilnais diferencialais Ž ET5 JA — 29“ (P) dp ir, integruodami panariui, išreiškiame y: 1 9 (p) dp S r | I G . 18 2 L Įstatę šią y reikšmę į lygtį (16), gauname atitinkamą x reikš- mę, …
Excerpt
. 84 Iii. Pirmos eilės diferencialinės lygtys kuris ir yra lygties (19) integruojamasis daugiklis. Padauginę iš jo lygtį (19) ir integruodami, turime i d4+y a(2-) Pard In (3 + 32) =2arcts L +In C. Įstatę polines koordinates ir potencijuodami, gauname …
Excerpt
* E$ 10. Izogonalinės trajektorijos ir evolventės 85 iš kurios, panaudodami formulę (15), pakeičiame parametrą C reiškiniu --- 17 " pažymėję taškų koordinates x ir y, gauname tiesių šeimos (24) ortogonalinių trajektorijų — cikloidės evolvenčių — …
Excerpt
. 85 III. Pirmos eilės diferencialinės lygtys (Ch. Huygens) svyruoklėje: lengvas siūlas su pakabintu gale svoriu svy- ruoja tarp dviejų apverstos cikloidės šakų (7 brėž.), o pasvaras juda kita cikloi- de — tos cikloidės evolvente (brėžinyje parodyta …
Excerpt
IV SKYRIUS PIRMOS EILĖS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDINIŲ EGZISTENCIJA IR VIENATINUMAS $ 11. Lygčių, išspręstų išvestinės atžvilgiu, sprendinio egzistencija ir vienatinumas 1. Egzistencijos ir vienatinumo klausimai yra vieni iš svarbiau- sių Matematikoje. …
Excerpt
88 IV. Diferencialinių lygčių sprendinio egzistencija „sprendinio, patenkinančio pradinę sąlygą y(Xo)=yo, egzistencijos ir vienatinumo teoremą. Sekančiame paragrafe išplėsime šią teore- mą lygčiai, neišspręstai išvestinės atžvilgiu. - Diferencialinės …
Excerpt
1 Lygčių, išspręstų išvestinės atžvilgiu, sprendinio egzistencija 89 kia konstanta N, kartais vadinama Lipšico konstanta, kad, paėmus bet kokius du skaičius x“ ir x“ iš intervalo (a, b), galioja nelygybė 6) —- f) …
Excerpt
KA Lvgčių, išspręstų išvestinės atžvilgiu, sprendinio egzistencija 91 chuoto įgaubto šešiakampio KLMNPO, nes jos liestinės negali sudaryti su x ašimi kampo, didesnio už 0: = 16 > ) …
Excerpt
92 IV. Diferencialinių lygčių sprendinio egzistencija Tokiu pat būdu iš pirmos iteracijos išreiškiame antrą ir t. t. Gau- name m-ai iteracijai rekurentinę formulę: »„ 6) =30- | f(a ym 60) dx. (21) Matematinės indukcijos keliu įrodysime, kad visos …