Excerpt
322 XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas x„)=C, apibrėžia uždarą paviršių, kuris apsupa koordinačių pra- džią. Be to, kai ! įgyja visas galimas reikšmes, judantis paviršius sudaro paviršių sistemą. Be šio paviršiaus nagrinėkime nejudomą …
Excerpt
'$ 36. Neautonominės sistemos trivialaus sprendinio stabilumo teoremos 323 kur W — teigiamai apibrėžta funkcija. Be to, pagal teoremos są- lygą, tada toje pačioje srityje išvestinė (11) gali įgyti tik neigia- mas arba lygias nuliui reikšmes. Leiskime, kad …
Excerpt
324 XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas Iš kitos pusės, esant s …
Excerpt
326 XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas funkcija W, [> Or ()) artėja prie nulio. Iš čia turime Uni — D L p r> 00 Teorema įrodyta. 3teorema. Tegu diferencialinių lygčių sistemos (1) spren- diniui (3) egzistuoja Liapunovo funkcija V(t, xi, …
Excerpt
$ 36. Neautonominės sistemos trivialaus sprendinio stabilumo teoremos 327 kur A — pakankamai mažas teigiamas skaičius. Bet tada, atsižvel- gę į formulę (25), įsitikiname, jog avį: X (0), Xn o) i A (28) kur teigiamas skaičius I, galiojant nelygybei (27), …
Excerpt
:$ 36. Neautonominės sistemos trivialaus sprendinio stabilumo teoremos 329 Gautas prieštaravimas rodo, kad tam tikru laiko momentu spren- dinys (3) būtinai išeis iš srities (29). Be to, kadangi pradinės reikš- mės (4) gali būti kiek norima mažos, tai …
Excerpt
330 XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas * sistemos (33) koeficientai a;, yra kintami, tai jos sprendinių kitimo tyrimas yra sudėtingas. Tegu sistemos (33) visi koeficientai a;, yra pastovūs. Tada pir- mojo priartėjimo sistema (33) yra …
Excerpt
332 XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas Tada ta pačia transformacija (37) sistemą (33) redukuojame į sistemą dy; > = My (= 1212 72), o sistemą (31) — į sistemą dy; Ž : TT Ir A) GL 2. m) 68) Pažymėję Za 2.2 |) -)- Ann iš transformacijos (37) …
Excerpt
$ 36. Neautonominės sistemos trivialaus sprendinio stabilumo teoremos Tada, kai Is4 | < 8 (2, ESI 72 *0-5 n), pasinaudoję žinoma nelygybe ss 2, gauname; n "n n n 2 2 594) < [ 3. |Sik Il41W < 5 S KME k=i k=l k=i v=l < = 2. 2 Give I k=į| v=1 Tokiu būdu, XĘ …
Excerpt
"$ 36. Neautonominės sistemos trivialaus sprendinio stabilumo teoremos 335 arba OL DA AO (51) AG k2i Kai (-> 00, iš šios nelygybės matome, kad funkcija > »2 (2) k=l monotoniškai mažėja ir artėja prie nulio. Tokiu būdu, jeigu pra- diniu momentu t; galioja …
Excerpt
336 XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas kurioje ' * ajy)= —a5 0) kV, ap) +++ 5 71) yra stabi- lus, nes egzistuoja Liapunovo funkcija "n V (6 Ap vi a) = (sin o) 2, 5, (54) i=l patenkinanti 1 teoremos sąlygas: n VG ži B) = (24 sin) D 520, i=l …
Excerpt
$ 36. Neautonominės sistemos trivialaus sprendinio stabilumo teoremos 337 4 2 pavyzdys. Ištirti lygčių sistemos dx. p 73 Bsinų +-aising, a (55) r (la sin x, — x; — 4 COS x; —xX3 COS £ trivialaus sprendinio x; Z O (i=1, 2) stabilumą pirmojo priartėjimo …
Excerpt
338 XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas šaknys yra grynai menamos. Tokiu būdu, turime kritišką atvejį ir tirti duotos lygčių sistemos sprendinio kitimą pagal pirmąjį priartėjimą negalime, Duotuoju atveju lengvai parenkame Liapunovo funkciją …
Excerpt
340 XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas Iš aukštosios algebros žinome, jog, galiojant Hurvico (A. Hurwitz) nelygybėms: a, > 0, a0,+a,> 0, a, > 0, (62) lygties 3104-0104, =0 visų šaknų realios dalys yra neigiamos. Lygčiai (61) sąlygos (62) …
Excerpt
XIV SKYRIUS SIMETRINIO PAVIDALO DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS IR TIESINĖS LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS $ 37. Diferencialinių lygčių sistemų pirmieji integralai 1. Tegu turime diferencialinių lygčių n eilės normalinę sistemą dyį 2 > a (= 2 (1) kur x — …
Excerpt
342 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos Šios lygybės rodo, kad tam tikroje srityje lygčių sistema (2) pradinių reikšmių y10, Y20,---, Yao atžvilgiu yra vienareikšmiai išsprendžiama. Be to, funkcijų (4) pirmos eilės dalinės išvestinės …
Excerpt
+ Diferencialinių lygčių sistemų pirmieji integralai 343 2. Pasinaudoję pirmųjų integralų antruoju apibrėžimu, raskime analizinį požymį, kuris charakterizuotų pirmojo integralo kairiąją pusę. Pagal sąlygą egzistuoja lygčių sistemos funkcijų f; (i= 1, 24 …
Excerpt
344 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos - Leiskime, priešingai, kad funkcija 14; patenkina tapatybę (9). Tada sistemos (1) bet kurios integralinės kreivės bet kuriame taške galioja lygybė (7), o taip pat ir lygybė (6). Tokiu būdu, …
Excerpt
Sis Diterencialinių lygčių sistemų pirmieji integralai 345 Be to, tegu ši lygtis yra išsprendžiama y; atžvilgiu, t. y. N= T (45 Yas «5 Yao Ci). (11) Tada, įstatę šią funkciją į sistemos (1) n-1 paskutiniąsias lygtis, gauname n-1 eilės lygčių sistemą S d L …
Excerpt
346 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos Išsprendę šią sistemą laisvų konstantų atžvilgiu, gauname sistemos (15) bend- rąjį integralą: 1 Por G1+ya) 6 =Cį 1 (16) T (y2—71) 67*=C3, kuriame funkcijos d. =Gihy e, da= 0, — 5) ŽAS yra …
Excerpt
“32 Diferencialinių lygčių sistemų pirmieji integralai 347 2 pavyzdys. Tegu duota standaus kūno, besisukančio iš inercijos apie įtvirtintą tašką, judėjimo diferencialinių lygčių sistema dx a SP =(b—Cc) xX;X5, dx 2 i (18) L = SE = (4— b) X1Xp, kur Xi, X», …
Excerpt
348 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos Atsižvelgę į ryšius (21), iš sistemos (18) trečiosios lygties gauname lygtį dx, a-b = z 5 Ti p TDO T) (22) kurioje atsiskiria kintamieji ir kurios bendras sprendinys išreiškiamas elipsinėmis …
Excerpt
. $ 20. Diterencialinių lygčių sistemų sprendinių egzistencija 147 …
Excerpt
148 VIII. Diferencialinių lygčių sistemos Iš čia matyti, kad ribinių funkcijų (17) sistema v,= Yi (3), ys= Y5(x), a Va Y. (x) (18) yra integralinių lygčių sistemos (7), o kartu ir normalinės siste- mos (1), sprendinys, patenkinąs pradines sąlygas (6). …