Excerpt
$ 27. Tiesinių homogeninių lygčių sistemos 241 lima išreikšti bet kokį m;—1 laipsnio polinomą, todėl, naujai su- žymėjus laisvas konstantas, sprendinį (37) galima taip parašyti: y=(C,+-C,x1...5- Cx ek L si (Cima I Gm ia a C la (38) 4 atvejis. …
Excerpt
$ 27. Tiesinių homogeninių lygčių sistemos 243 Prilyginę jos determinantą nuliui, gauname charakteringąją lygtį a3— 312 = 0, kurios šaknys yra Ą1=A2=0, A5=3. Šaknis A=0 yra kartotinė (m=2), o matricos —2 7-1 0 M(0=|| 0 —2 —4 į 0 1 rangas yra I=2, o n=3, …
Excerpt
244 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais 3 pavyzdys. Išspręsti diferencialinę lygtį > L 2y=0. Dvi charakteringosios lygties 12+a*=0 šaknis Ą1=ai ir M,=—ai atitinka du tiesiškai nepriklausomi sujungtiniai komp- leksiniai …
Excerpt
246 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais Įstatę konstantų reikšmes į sprendinį (57) bei panaudoję lengvai įrodomą formulę sh(a—P)=sha chB—cha chP, gauname sh (—x) V AR sh! V AR 68) = Esant pakankamai gerai izoliacijai, …
Excerpt
248 XI. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos su pastoviais koeficientais t AINA £, ž 27 dyp ž a a kairiosios lygčių pusės virsta 4; > r gauname tiesinių lygčių su pastoviais koeficientais sistemą. Kai 2(x)—x sistema (1) parašoma šitaip: dy, ZA = any + …
Excerpt
$ 33. Sprendinių diferencijavimas parametru ir pagal pradines reikšmes 299 kur 0 Rallio T k aUR l, 35 1 k; t U: (x) —0 (124 i (22) Atsižvelgę į lygybę (21), iš formulės (20) turime: Zi (x) = —Ji (Xo3 Vios Yao > > Vos L) (= 1, 2...) m). (23) Taigi …
Excerpt
300 : XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas Padauginę šias nelygybes iš daugiklio e“*, gauname lemos ne- lygybes (24). 2. Pirmiausia įrodysime, jog srityje (5) egzistuoja sistemos (1) sprendinio (3) tolydinės išvestinės + (U— 1227 n). Berto, …
Excerpt
$ 33. Sprendinių diferencijavimas parametru ir pagal pradines reikšmes 301 Ši funkcija intervale [x0, xo+h] patenkina Gronuolo lemos są- lygas, ir todėl turime įvertinimą: Xi | M,h aa | Žž < Mile (ln 2, on), Taigi visos funkcijos y; atžvilgiu u yra …
Excerpt
302 XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas Tada, pasinaudoję Gronuolo lema, gausime: |ŽZ2-U, LAS Iš čia turime: Oyį ž O. ln 66 (= 1, 2, «.., 2). Edi L—B Op (26) Šios išvestinės yra tolydinės srityje (5), nes joje sistemos (16) sprendinys U; …
Excerpt
$ 33. Sprendinių diferencijavimas parametru ir pagal pradines reikšmes 303 kur O0zį No 0 S L = (GRS SD (29) Sistemoje (28) funkcijos 4; „ yra tolydinės srityje (2). Šios sistemos egzistuojantis sprendinys (žr. $ 20). —-2 DD D i r (30) patenkina pradines …
Excerpt
304 XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas 7 | ižnno "TE Aa — X0 = d X. — o x. — fi (4*; yb*, vž*, 5 VA 35 V) (= 1, 2... m). (82) Sistemos (14) sprendinys, patenkinantis pradines sąlygas (23), yra - Jiš [Xe „(5 Yu Na "5 Va W) Z,|4x+ v=į — f; …
Excerpt
$ 33. Sprendinių diferencijavimas parametru ir pagal pradinės reikšmes 305 Sistemos (34) bendras sprendinys yra: y, =6* (C, cos Lx + C; sin px), y, =eš Ūyis B e* sin Lx; 0 ež Oy3 1 22 AS sin x, Iva = e( cos Lx -- an sin ix). Be to, atsižvelgę į …
Excerpt
306 XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas Panaudoję duotas pradines sąlygas, iš sistemos (37) bendro sprendinio = Ce + Ge 5 BA, LE (1+P)x va randame ieškomą sprendinį 1 T [-e+ p) e*728 12(1 11) I +G—2) |- B [-e L ID Yas = Ya) (— 152, 45 (1) …
Excerpt
634 Sprendinių stabilumo sąvoka pagal A. M. Liapunovą 307 tyrimą. Šį judėjimą vadiname neperturbuotu judėjimu, o visus kitus judėjimus, apibrėžiamus kitais duotos lygčių sistemos sprendiniais, — perturbuotais judėjimais. Pradinės reikšmės (3) visuomet yra …
Excerpt
308 XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas visiems tZto patenkina nelygybes lx; ()— 9; ()| 0 bent viena iš nelygybių (7) negalioja. Tada sistemos (1) sprendinį (2) vadi- name nestabiliu. Praktikoje nestabiliais sprendiniais domi- mės tik …
Excerpt
$ 34. Sprendinių stabilumo sąvoka pagal A. M. Liapunovą 309. sistemos (9) atskiras sprendinys. Atskiru atveju neperturbuotą ju- dėjimą atitinka sistemos (9) trivialus sprendinys 01 60 a) (10) Taigi sistemos (1) sprendinio (2) stabilumo tyrimą suvedame į …
Excerpt
310 XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas 1 pavyzdys. Parodyti, jog sistemos dy, TE L, (11) dy; | 2 Žr A 2y; sprendinys, patenkinantis pakitusias pradines reikšmes: 3 Yo (0) = 30 =H10 +8=35 3x0 (0) =Yx0=y> 0 +8=113, (12) asimptotiškai artėja …
Excerpt
$ 35. Autonominės sistemos trivialaus sprendinio stabilumo teoremos 313 Be to, kadangi lim x; (4) =0 “1: — 1, 2), 1-> 00 tai sistemos (21) trivialus sprendinys *; = 0 (= 1, 2) yra asimptotiškai stabilus. $ 35. Diferencialinių lygčių autonominės sistemos …
Excerpt
314 XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas Funkciją V(xi, ..., X.) vadiname apibrėžto ženklo funk- cija (teigiamai apibrėžta arbameigiamai apibrėžta), jeigu, galiojant nelygybėms (6), kur h — pakankamai mažas teigiamas skaičius, ji gali įgyti …
Excerpt
$ 35. Autonominės sistemos trivialaus sprendinio stabilumo teoremos 315 Skaičius I! yra teigiamas, nes aibėje (10) funkcija V yra teigiama. Be to, kadangi funkcija V yra tolydinė, tai šioje aibėje jos apatinė riba lygi vienai iš reikšmių, kurias ji įgyja …
Excerpt
3187 > XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas kur h — pakankamai mažas teigiamas skaičius, išvestinė „ yra teigiama. Parodysime, kad, esant skaičiui 60 kiek norima mažam, visuo- „met egzistuos tokia pradinių reikšmių sistema x;3 (i=1, 2, ..., …
Excerpt
4: 35: Autonominės sistemos trivialaus sprendinio stabilumo teoremos 319 kur 1 — pakankamai mažas teigiamas skaičius. Tokiu būdu, turime V [+ 0, aa x ()]= V ios S 1 [Žas > Van > Za) 1(E— 10); iš kur matome, kad V [xi (B) t (0) neaprėžtai didėja. Bet tai …
Excerpt
320 XIII. Diferencialinių lygčių sprendinių stabilumas kur funkcija u(X;,...,X„) koordinačių pradžioje turi griežtą maksimumą. Ištirti šios sistemos trivialaus sprendinio stabilumą. r Liapunovo funkcija imame skirtumą Va) K) — 80 0) ua 45 a) kuris, kaip …