Excerpt
$ 19. Kanoninės ir normalinės sislemos 139 Iš sistemos (2), pažymėję ypa =75 (6 = 1525 5 m), iš Čia pakeitę Ya = 9 Va =Yja Ip Yi YIT ir įstatę į sistemos (2) Fi=0, .-., F„=0 pavidalo lygtis (li- kusios tos sistemos lygtys virsta tapatybėmis), gauname vėl …
Excerpt
140 VIII. Diferencialinių lygčių sistemos įstatydami išvestinių Yi Yž> ---> y, Teikšmes iš lygčių (4) ir ati- tinkamai pažymėdami dešiniąsias gaunamų lygybių puses, gau- name lygčių sistemą: =fi (X; Yas Ya > > Ya)> G 0 0 vi Mi A A+ Ža = F,(x; Yy> «> Ya)> …
Excerpt
A $ 19. Kanoninės ir normalinės sistemos 141 wi=f,, išvedame lygybę, prie kurios prirašome lygybes, analo- gišku būdu gaunamas iš kitų sistemos (4) lygčių: i 0 A-Ž 0-0 =0 2 Št 2 Gi—-f)=0, AJ) 1 ES 0. Šios lygybės sudaro tiesinių S lygčių sistemą dydžių …
Excerpt
'142 VIII. Diferencialinių lygčių sistemos “Šios sistemos sprendinys yi=yi(t), ..., yn=Yn(t) apibrėžia erdvės R, tašką, o išvestinės y; (t), . -,y, (t) yra to taško greičio vektoriaus komponentės — projekcijos į atitinkamas koordinačių ašis. Lygčių …
Excerpt
£ 20. Diferencialinių lygčių sis'temų sprendinių egzistencija 145 pavyzdžiui, 3 svorio centro koordinatės, 2 kampai, nusakantieji einančios per svorio centrą ašies kryptį, ir pasisukimo kampas apie šią aši, II t. t. Pavyzdys. Suvesti normalinę sistemą y …
Excerpt
144 VIII. Diferencialinių lygčių sistemos kur funkcijos f+(X, Yi, Y2, < …
Excerpt
$ 20. Diferencialinių lygčių sistemų sprendinių egzistencija 145 Įstatę x=xo į šios sistemos lygtį, turime pradines sąlygas (6), o išdiferencijavę visas sistemos lygtis kintamuoju x, — gauname normalinę sistemą (1), todėl integralinių lygčių sistema (7) …
Excerpt
146 VIII. Diferencialinių lygčių sistemos (10) ir skaičiaus 6 apibrėžimą (3), — išvedame (m +1)-ai iteracijai šią nelygybę: k, m+1 (4) — Bk| < r, mi (4) — Yo | +- |Yko— Bk] < < J lo Jim (2): Yan (A): «> Jan(2)) dx |+-5- < M|ž— + +2 < M|+7—a|+Mla—x,|1+-2- …
Excerpt
s 7. Lygtys pilnais diferencialais 47 kur funkcijos p(x, y), g(x, y) visoje srityje g patenkina minimas teiginyje sąlygas ir lygybę (16). Įrodymui suprastinti imame atve- ji, kai duotoji vienkart susijusi sritis g yra uždaras stačiakampis! …
Excerpt
48 II. Lygties y/=f(x, y) sprendimas kvadratūromis Integruodami apskaičiuojame ą(y) ir, įstatę į lygybę (18), gauna- me bendriausią ieškomos funkcijos išraišką: u(x, y)= Ic y)dE+ face mn + Ca (19) kur C; yra konstanta. Tuo pačiu įrodėme, kad sąlyga (16) …
Excerpt
67. Lygtys pilnais diferencialais 49 Jeigu srityje g lygtis (21) turi bendrąjį integralą zalos 9) 62 (24) kur u(x, y) — diferencijuojama funkcija, turinti tolydines dalines išvestines, tai egzistuoja lygties (21) integruojamasis daugiklis. Įrodymas. …
Excerpt
50 II. Lygties y/=f(x, y) sprendimas kvadratūromis kur = E= | pjao yra bet kokia funkcijos f(u) primityvė funkcija. Lokaliai, tai yra tam tikroje kiekvieno nagrinėjamos srities taško aplinkoje, galioja sekantis atvirkštinis teiginys. Teorema. Jeigu …
Excerpt
7. Lygtys pilnais diferencialais 51 matinėje analizėje, iš to ir iš tapatybės (33) išeina, kad egzistuoja taško (Xo, yo) aplinka o, kurioje u;=uUi(X, y) yra u=ul(x, y) funk- cija: t (as 9) =9 (us 9), (34) kur funkcija 4, =3(4) yra tolydinė ir turi …
Excerpt
Šš 7. Lygtys pilnais diferencialais 53 Priešingas atvejis, kada u(x, y) =C gali sudaryti keletą tarp sa- vęs nesusijusių lankų, pavaizduotas 5 brėžinyje, b. Jei, pavyz- džiui, lankuose AB ir CD yra u(x, y)=C1, tai lanke AB gali būti u(x, y)=C2, o lanke CD …
Excerpt
54 Ii. Lygties y“/=(f(x, y) sprendimas kvadratūromis 1 6 Ž ži) S kurio buvo- pilnais diferencialais, todėl daugiklis me dauginę lygtį, atskirdami kintamuošius, virsta, pakeitus 4 = — duotos lygties (40) integruojamuoju daugikliu AI AG ais 2 x9 (2) pa, 3) …
Excerpt
7. Lygtys pilnais diferencialais 55 5) Iš lygybės (45) išvesime sąlygą, kad lygties (44) integruoja- masis daugiklis būtų iš anksto duotos funkcijos z=z(x, y) funk- cija: M= M(2). Turime 0M ios AM an S 357 =M 057: sa M ai ir, įstatę į lygybę (45) bei …
Excerpt
56 II. Lygties y'=f(x, y) sprendimas kvadratūromis Patį daugiklį gauname iš formulės (47), įstatę z=x: M(x)=e . (50) | Analogišku būdu išvedame sąlygą, kad lygties (44) integruo- jamasis daugiklis būtų M= M(y) pavidalo, Di = g Oy Ox Zž ir parašome …
Excerpt
$ 72. 4 Lygtys pilnais diferencialais 57 Išspręsime lygtį (53). Padauginę abi jos puses iš integruojamo- jo daugiklio (54) ir diferencialo dx, turime pilnus diferencialus x x J p(z)dz J p(z)dz d le y| =g(x)e“ dx. dx Išintegravę šią lygybę panariui, …
Excerpt
$12 Lygtys pilnais diferencialais 59 Integruojame pirmąją lygtį kintamuoju x, laikydami y pastoviu: smyenss | eismo | s00+90- =ycosy-e*+-siny-(x— 1)e* +-9(y) =e* (ycos y + x siny— sin y) +9 (9). Išdiferencijavę u kintamuoju y, įstatome į antrąją sistemos …
Excerpt
60 II. Lygties y'=f(x, y) sprendimas kvadratūromis 6 pavyzdys. (y 4 6xy*)dx + (x + 4x*yš)dy. Kairiąją lygties pusę suskirstome į dvi dalis: (y dx + xdy) + (6Gxy? dx + 4x2y? dy) = 0. Pirmoji dalis yra pilnas diferencialas du;=d(xy). Bendroji jos …
Excerpt
Š 7. Lygtys pilnais diferencialais 61 Lygtis turi (47) pavidalo integruojamąjį daugiklį Šo z LNR M=e =e—Nž= i -) z arba 1 r L + Panaudoję integruojamąjį daugiklį, turime egzaktinę lygtį ir ją suintegruo- jame: dx + dy EEEH + 2xdx + 2ydy + ydx + xdy =0, …
Excerpt
III SKYRIUS PIRMOS EILĖS DIFERENCIALINĖS LYGTYS, NEIŠSPRĘSTOS IŠVESTINĖS ATŽVILGIU $ 8. Bendros sąvokos. Suvedimas į lygtis, išspręstas išvestinės atžvilgiu 1. Iki šiol nagrinėtos y“=/(x, y) pavidalo diferencialinės lyg- tys tam tikroje xy plokštumos …
Excerpt
$ 8. į Bendros sąvokos 63 Tos lygties bendrasis integralas kartais parašomas viena lygtimi su viena konstanta C: by —31 (5 CY —922(x; C)].-- Ly — 3, (4 C)]=0. Spręsdami šią lygtį y atžvilgiu, gauname visas funkcijų šei- mas (4). Tegul (xo, yo) yra srities …
Excerpt
64 III. Pirmos eilės diferencialinės lygtys Pavyzdys. F=(y—x)2*—4y4+4xy=0. Turime Ag(x) y)=y—x ir 0F IE 2(y—x)2- Kai y—x+0, iš lygties gauname p= 2 V > . Šaknys yra realios ir skirtingos, kada y> 0. Atskyrę kintamuosius, integruojame lygtį: [--:J- …
Excerpt
6 9. Parametro įvedimas. Klero ir Lagranžo lygtys 65 Iš pirmųjų dviejų lygybių (2) apskaičiuojame diferencialus AB 0f LOG Og dx= > 7 dub pp de, dy = Ša du 4- 57 du. (3) Iš sąlygos Ė=Ž 27 parašome lygybę dy =pdx ir į ją įstatome turi- mas dx, dy ir Ž I …
Excerpt
š 9. Parametro įvedimas. Klero ir Lagranžo lygtys 67 kreivė pereina į glodžią xy plokštumos kreivę. Kreivių kryptys uv plokštumoje pereina į apibrėžtas kryptis xy plokštumoje, todėl pakeitimas (9) atvaizduoja vienareikšmį lygties (4) apibrėžiamą krypčių …
Excerpt
68 III. Pirmos eilės diferencialinės lygtys Panašiu būdu integruojame lygtį *= fi (V; B), (12) kurioje laikome funkciją fi(y, p) ir jos abi dalines išvestines toly- dinėmis nagrinėjamoje srityje ir 2 Diferencijuodami ir L ; d : sa > pakeisdami dx= 2, …