Excerpt
110 V. Izoliuotieji pavieniai taškai. Ribiniai ciklai Šiuo atveju šaknų A4 ir A> realios dalys yra lygios nuliui, to- dėl Perono dėsnis negalioja, ir atitinkanti lygtį (6) bendresnioji lygtis (3) gali turėti taško (0, 0) aplinkoje kitokio pobūdžio …
Excerpt
$ 13. Lygties y/=(ax-4-by) : (cx4-dy) pavieniai taškai 111 1) Per balno tašką (9 brėž.) eina tik dvi integralinės linijos, turinčios tame taške skirtingas kryptis. 2) Per mazgo tašką (10 brėž.) eina be galo daug integralinių linijų; jos visos, išskyrus …
Excerpt
112 V. Izoliuotieji pavieniai taškai. Ribiniai ciklai Integralinės kreivės yra Archimedo spiralės, išeinančios iš taško (0, 0) visomis kiyptimis, todel šis taškas yra dikritinis mazgas, tad turi tą patį po- būdį, kaip ir lygtyje 2- 2 (žr. 16 brėž. ir 12 …
Excerpt
$ 14. Ribiniai ciklai 113 $ 14. Ribiniai ciklai. Integralinių kreivių eigos tyrimas visoje srityje, kurioje yra duota diferencialinė lygtis, daug sunkesnis, negu vieno taško ap- linkoje. Šiuos klausimus nagrinėja kokybinė diferencialinių lygčių teorija. …
Excerpt
$ 15. Reguliarūs ir pavieniai taškai 115 gos. Iš tikrųjų, jei ši sąlyga būtų išpildyta, turėtume, esant y reikšmei pakankamai artimai y, nelygybę Ig 0) —z(0)| iš kur, atsižvelgę į sąlygą g(y)=0, gautume 1 N PZTT = TE0T" (4) Funkcija g(y), būdama lygi …
Excerpt
116 VI: Pavieniai sprendiniai 1) Taške (x0, yo) lygtis apibrėžia baigtinį skaičių n krypčių, tai yra lygtis Flo Yo P) =0 (6) turi lygiai n skirtingų realių šaknų pi, D2, …
Excerpt
$ 16. Pavieniai sprendiniai. 117 tai dalijimo kreivės yra diskriminantinės. Iš tikrųjų, kiekvienoje dalijimo kreivės taško aplinkoje yra skirtingoms dalinėms sritims priklausančių taškų, kuriuose lygtis (5) apibrėžia skirtingą krypčių skaičių. Kiekviename …
Excerpt
118 VI. Pavieniai sprendiniai Iš $ 15 teiginių išeina, kad pavienės integralinės kreivės taškų aplinkoje turi būti nepatenkinta bent viena iš Koši sprendinio egzistencijos ir vienatinumo teoremos sąlygų. Pavyzdžiui, diferencialinė lygtis 2), 2) nagrinėtu …
Excerpt
120 VI. Pavieniai sprendiniai lygties (3) pavienė integralinė kreivė, būdama visuose taškuose liečiama kitų integralinių kreivių, yra tų integralinių kreivių šei- mos gaubiamoji. Iš čia turime dar vieną metodą pavieniams sprendiniams gauti, Norint gauti …
Excerpt
122 VI. Pavieniai sprendiniai Eliminavę parametrą p, gauname lygties (9) sprendinių šeimą (bendrąjį spren dinį): : (G«G—C*+0y—C)=1. (15) Lygtis (15) reiškia vienetinių (vieneto spindulio) apskritimų šeimą, kurių centrai yra taškuose x=C, y=C, tai yra …
Excerpt
$ 16. . Pavieniai sprendiniai 123 1) Išdiferencijavę lygtį (19) parametru p, turime 94p2 —24p=0, iš kur p=0 arba p=1. Įstatę abi p reikšmes į lygtį (19), gauname dviejų tiesių lygtis x—y=0, —= 25 (20) Abi tiesės kartu sudaro diskriminantinę liniją. Iš …
Excerpt
$ 17. Skaitiniai metodai 127 sąlygą y(xo)=yo, ieškome taip. Išreiškiame vi=y(xi), paėmę tris Teiloro eilutės narius: auks v1=Y0 + 51 5 Vo (4) ir įrašome y, ir y4 Ieikšmes, apskaičiavę jas iš akivaizdžių formulių , „ d 1 "pt 35 = E X) = To 30-67, (o J0)- …
Excerpt
128 VII. Artutiniai metodai diferencialinėms lygtims integruoti Tuo atveju sukauptoji paklaida yra apytikriai išreiškiama formu- lėmis 8 =A1B(—-)"+ 57, kai 550, n n I = (6) 8„=A(—- g" + Bg" T ajz kai g 1, todėl paklaidos kitimo pobūdį nulemia pirmasis …
Excerpt
$ 17. Skaitiniai metodai 129 Jei y“) (x) yra tolydinė, lygybės (7) paklaidai pritaikome vi- durinių reikšmių teoremą =— E (Ė5) > Ep (Ė4) Dakų y (E5) + - [T (E,) — y" (2) 2 — - y (E2) L ( < Es < ii). Čia |š) — Ė5| < A, todėl, atmetę ketvirtosios eilės …
Excerpt
ee d 130 VII. Artutiniai metodai diferencialinėms lygtims integruoti Įrodysime minėtųjų sekų, gautų kartojant skaičiavimus pagal formules (9), konvergavimą ir rasime jo greitį. Skaičiuodami kaita- liojome įstatinėjimą į trapecijų formulę ir į …
Excerpt
, $ 17. "Skaitiniai metodai 2 ; 131 Kartu konverguoja sekaVi415 Vatas A „.. Iš pirmosios formulės (9) tipo lygybių, kartodami 3-4 operaciją, riboje gauname formulę SEA (13) ir duotąją lygtį (1) taške x=x„. Praktikoje dažnai stengiamasi imti tiek mažą h, …
Excerpt
132 VII. Artutiniai metodai diferencialinėms lygtims integruoti Iš čia artutinė vieno žingsnio paklaidos išraiška h* eilės tikslumu yra 1 I Tafi 5 Cj= Hi O +1 — Vata). 5. Tegul funkcijos f,(x, y) ir =“ (x) yra, kaip ir aukščiau, ar- timos konstantoms. …
Excerpt
134 VII. Artutiniai metodai diferencialinėms lygtims integruoti y“/=0, ir visos aproksimavimo paklaidos yra lygios nuliu: nepriklausomai nuo parinktojo žingsnio R. Tai lengva patikrinti, išsprendus lygtį kintamųjų at- skyrimo būdu. Lygties bendras …
Excerpt
$ 18. Grafiniai metodai 137 Taškų (5) geometrinę vietą vadiname ve damąja kreive. Homogeninės lygties y'-+-p(x)y=0 atveju ši kreivė virsta x ašimi, nes iš antros lygties (5) turime y=0. Paprasčiausias grafinis būdas lyg- 17 ties (1) integralinei kreivei, …
Excerpt
VILI SKYRIUS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS, JŲ SPRENDINIŲ EGZISTENCIJA IR VIENATINUMAS $ 19. Diferencialinių lygčių sistemos. Kanoninės ir normalinės sistemos 1. Panagrinėsime bendriausio pavidalo n diferenciali- nių lygčių su n nežinomųjų funkcijų yr …