Excerpt
350 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos Įrodysime, kad simetrinio pavidalo lygčių sistemos (4) bet kurio pirmojo integralo bl J — G u=V(X5 5 Ir) (7) yra pirmos eilės diferencialinės lygties dalinėmis išvestinėmis kairioji pusė Ž, …
Excerpt
$ 38. Simetrinio pavidalo lygčių sistema 351 Tarp lygčių sistemos (4) ir lygties (8) egzistuoja tamprus ryšys. Sistema (4) yra paprastų diferencialinių lygčių simetrinio pavidalo sistema, atitinkanti pirmos eilės tiesinę homogeninę diferencialinę lygti …
Excerpt
352 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos t. y. funkcija (11) yra lygties (8) sprendinys, priklausantis nuo lais- vų funkcijų +; (+= 1; 2, 0,1 yra lygties (8) sprendiniai, tai galioja tapatybės (13), kurias užrašome pavidalu XI4= 3, XV …
Excerpt
$ 38. Koši uždavinys 353 kur Xx; — duota pradinė reikšmė ir Ę(Xi,..., X.) — duota tolydiškai diferencijuojama pagal savo argumentus funkcija. Šis uždavinys yra vadinamas Koši uždaviniu, Palyginę lygties (8) bendrą sprendinį (11) su duota pradine są- lyga …
Excerpt
354 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos Vadinasi, tolydiškai diferencijuojama funkcija u=9[ m Ghia (bo A] B) yra lygties (8) Koši uždavinio ieškomas sprendinys. Iš sprendinio (23) konstravimo nesunku pastebėti, kad jis pra- dine …
Excerpt
$ 38. Koši uždavinys | dia 355 Iš lygtį (25) atitinkančios simetrinio pavidalo lygčių sistemos dx; dxs S dx; gži isinias - COS 125 randame du pirmuosius nepriklausomus integralus: t =Z-e6"ttgx = Cs V = ctgx> + tg X5= Ga. Is ž T Iš čia, įstatę x,—= aaa …
Excerpt
356 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos patenkinantį sąlygą E =f (7 »)=9 (y), (30) kur O(y) — duota tolydiškai diferencijuojama funkcija. Taigi Koši uždavinio geometriškoji prasmė yra šitokia: iš visų lygtimi (27) apibrėžiamų …
Excerpt
š 39. Tiesinė nehomogėninė pirmos eilės lygtis dalinėmis išvestinėmis 357 Jeigu Z=0Ū, o visi koeficientai X, prie išvestinių nepriklauso nuo z, tai lygtis (1) virsta tiesine homogenine lygtimi (žr. $ 38). Tegu nagrinėjamoje srityje funkcijos X, (v = 1, …
Excerpt
358 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos Visas funkcijas u, kurios patenkina homogeninę lygtį (3), gali- me rasti žinomu metodu (žr. $ 38). Parašome lygties (3) charakte- ristikas apibrėžiančią lygčių sistemą, t. y. lygtį (3) …
Excerpt
š 39. Tiesinė nehomogeninė pirmos eilės lygtis dalinėmis išvestinėmis 359 Į lygybių (9) kairiąsias puses vietoje z įstatę funkciją (8), pažy- mėsime: dr (a ass aa )=U (k kasa AS O) (GE— 2 2 Iš čia turime: 0W, Ok, Ok 09 220 A SAP GB I a. (10) Funkcijos 154 …
Excerpt
360 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos Taigi egzistuoja tokia funkcija (6), kuri, kai joje z pakeičiame į 9(Xi, X2... X), Virsta nuliu. Tokiu būdu, jei lygtyje (1) visi koe- ficientai X, ir Z patenkina aukščiau nurodytas sąlygas, tai …
Excerpt
$ 39. Tiesinė nehomogeninė pirmos eilės lygtis dalinėmis išvestinėmis 361 Leiskime, kad funkcija W yra V (bs x 5 V) = NV Ya VL) — P [m Ch 5, 43 („> a az Tai (Vas V2; 112 4.) Tada, atsižvelgę į formules (15) — (18), turime: UV (Vis Yas - > Už) K T (Vu 1» …
Excerpt
$ 39. Tiesinė nehomogeninė pirmos eilės lygtis dalinėmis išvestinėmis 363 o statmenumo sąlyga (26), išreikšta koordinatėmis, yra Ou 0u 0u P(x, V, 2) 27 106, > 25 R (x; y, 2)27=0. (28) Taigi, norėdami rasti krypčių paviršių išspręsto (21) arba neiš- …
Excerpt
364 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos Tada paviršių (31) susikirtimo kreivės yra charakteristikos. Atvirkščiai, jeigu paviršiuje, kurio kiekviename taške egzistuoja tolydžiai kintanti liečiamoji plokštuma (22), per kiekvieną tašką …
Excerpt
$ 39. Tiesinė nehomogeninė pirmos eilės lygtis dalinėmis išvestinėmis 365 paviršius. Taigi charakteristikomis galime vadinti tokias kreives, kurioms Koši uždavinys yra neapibrėžtas. Sakykime, kad kreivė, per kurią vedame lygties (20) integralinį paviršių, …
Excerpt
366 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos arba Odį 043 | Odų 045 Odų 04, 0z 0z ži 0x Ox 0x '0x D BM B | kb Oy 0y 0z 0z 0y Oy Gauta lygtis yra (20) pavidalo pirmos eilės tiesinė nehomoge- ninė diferencialinė lygtis dalinėmis …
Excerpt
368 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos Charateristikas apibrėžiančios lygčių sistemos dx= —dy =dz=dt bendrasis sprendinys yra - xX=1tC, y=—-17C, => =1:4€C,. Panaudoję pradines sąlygas, randame laisvas konstantas ir galutinai gauname …
Excerpt
$ 40. Dviejų pirmos eilės lygčių dalinėmis išvestinėmis sistema 369 arba, atsižvelgę į antrąją lygtį, parašome: 02z 0P 0P "aa G a 2 (4) Analogiškai, iš sistemos antrosios lygties randame: 02 | 00 , 00 Oy Ox e 6) Gautos išvestinės (4) ir (5) yra tolydinės. …
Excerpt
370 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos t. y. turime: EG) =9 (to > : žo C0))» 009 kur X; — duotas skaičius ir (y) — duota tolydiškai diferencijuoja- ma funkcija. £ i Pagal sąlygą egzistuoja funkcijos P(x, y, z) tolydinės išvestinės P. …
Excerpt
Šš 40. Dviejų pirmos eilės lygčių dalinėmis išvestinėmis sistema 371 Iš čia, atsižvelgę į formules (7), (8), (14), (15) ir pakeitę išvestines LKJS ęc, atitinkamai reiškiniais P, Ein Bo, P'ęc, galutinai gauname: o [0 x, 9) = 1 , , , ' , Ap TEST S 2 G …
Excerpt
$ 40. Dviejų pirmos eilės lygčių dalinėmis išvestinėmis sistema 373 vienu metu negalioja lygybės P=O=R=0, t. y. lygtis (22) neturi pavienių taškų. Minėtoje srityje kintamieji x, y, Z negali būti nepriklausomi, nes priešingu atveju dx, dy, dz būtų …
Excerpt
374 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialinių lygčių sistemos arba FrotF-=0, (27) kur Ė ri F= (2-2?) į 1 (28 - )i1(22- k. (28) Vadinasi, jeigu kintamųjų x, y, z atžvilgiu sąlyga (26) yra tapa- tingai patenkinama, tai Piaio lygtis (22) yra pilnai …
Excerpt
š 40. Dviejų pirmos eilės dygčių dalinėmis išvestinėmis sistema 377 Taigi, bendriausioji Piafo lygties vieno matavimo integralinė daugdara priklauso nuo vienos laisvos funkcijos ir nuo vienos lais- vos konstantos. Laisva (32) pavidalo funkcija reiškia bet …
Excerpt
378 XIV. Simetrinio pavidalo diferencialįnių lygčių sistemos Taigi, įstatę rastą funkciją C(z) į formulę (38), gausime Pfafo lygties (38) pavidalo sprendinį. Pastebėsime, kad jeigu krypčių laukas (20) yra potencia- linis: io „ON Pauža Ž40N F=gradU, t.y. …
Excerpt
$ 40. Dviejų pirmos eilės lygčių dalinėmis išvestinėmis sistema 379 Šis reiškinys x, y ir z atžvilgiu tapatingai nelygus nuliui. Jį prilyginę nuliui, gauname: , kari z— 0211 5= EG Įstatę šias funkcijas į sistemą (40), įsitikiname, kad z=0 yra duotos …